Question

畫圖、證明：如圖，，點C、D分別在OA、OB上。

⑴ 尺規作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作的平分線OP；作線段CD的垂直平分線EF，分別與CD、OP相交于E、F；連結OE、CF、DF。

⑵ 在所畫圖中，

① 線段OE與CD之間有怎樣的數量關系：_____________。

② 求證：△CDF為等腰直角三角形。

Answer 1

（1）畫出角平分線、線段的垂直平分線。

（2）①

② 方法一：∵EF是線段CD的垂直平分線，

∴FC=FD

∵△COD為直角三角形，E為CD的中點

∴

∴

設CD與OP相交于點G，

∵

∴

又∵CE=OE=EF，

∴，同理

∴，△CDF等腰為直角三角形。

方法二：過點F作FM⊥OA、FN⊥OB，垂足分別為M、N。

∵OP是∠AOB的平分線，

∴FM=FN。

又∵EF是CD的垂直平分線，

∴FC=FD。

∴Rt△CFM≌Rt△DFN，∠CFM=∠DFN。

在四邊形MFNO中，由∠AOB=∠FMO=∠FNO=90°，得∠MFN=90°

∴∠CFD=∠CFM+∠MFD=∠DFN+∠MFD=∠MFN=90°

∴△CDF為等腰直角三角形。