Question

【題目】如圖Ⅰ，在第四象限的矩形ABCD，點A與坐標原點O重合，且AB=4，AD=3.如圖Ⅱ，矩形ABCD沿OC方向以每秒1個單位長度的速度運動，同時點Q從B點出發也以每秒1個單位長度的速度沿矩形ABCD的邊BC經過點C向點D運動，當點Q到達點D時，矩形ABCD和點Q同時停止運動，設點Q運動的時間為t秒.

（1）在圖Ⅰ中，點C的坐標(____),在圖Ⅱ中，當t=2時，點A坐標(______),Q坐標(______)

（2）當點Q在線段BC或線段CD上運動時，求出△ACQ的面積S關于t的函數關系式，并寫出t的取值范圍;

（3）點Q在線段BC或線段CD上運動時，作QM⊥x軸，垂足為點M，當△QMO與△ACD相似時，求出相應的t值.

Answer 1

【答案】(1)C(4,-3)； A()， Q()；

（2）①當Q在BC上，即0≤t≤3時，S=6-2t，②當Q在CD上，即3<t≤7時，S=；

（3）當t=3時，△QMO與△ACD相似.

【解析】試題分析：（1）根據AB=4，AD=3，可得點A的坐標，過A作AE⊥x軸于E，根據△AOE∽△CAB，可得AE：OE：AO=3：4：5，再根據當t=2時，OA=2，OE=，AE=，BQ=2，可得點A和點Q的坐標；（2）分兩種情況進行討論：①當點Q在BC上時，②當點Q在CD上時，分別根據△ACQ的面積計算方法，求得S關于t的函數關系式，并根據點Q的位置寫出t的取值范圍；（3）先過A作AE⊥x軸于E，根據△AOE∽△CAB，得出AE：OE：AO=3：4：5，再根據OA=t，得出OE=t，AE=t，再分兩種情況進行討論：①當點Q在BC上時，連接OQ，②當點Q在CD上時，連接OQ，分別根據相似三角形的對應邊成比例，列出關于t的比例式，求得t的值并檢驗即可．

試題解析： (1)如圖所示，

∵AB=4，AD=3，

∴A(4,3)，AC=5，

過A作AE⊥x軸于E,則△AOE∽△CAB，

∴AE:OE:AO=3:4:5，

當t=2時,OA=2,OE=85,AE=65，BQ=2，

∴A(,)，

∵OE+AB=,AE+BQ=，

∴Q(,)，

故答案為：(4，3)，(,)，(， )；

(2)①當點Q在BC上時,連接AQ,

∵BQ=t，BC=3，

∴CQ=3t，

∴△ACQ的面積=×CQ×AB，即S=×(3t)×4=2t+6(0t<3)；

②當點Q在CD上時，連接AQ，

∵QC+BC=t，BC=3，

∴CQ=t3，

∴△ACQ的面積=×CQ×AD,即S=×(t3)×3=t (3t7)；

∴S關于t的函數關系式為S=；

(3)如圖所示,過A作AE⊥x軸于E,則△AOE∽△CAB，

∴AE:OE:AO=3:4:5,

∵OA=t，

∴OE=t,AE=t，

①當點Q在BC上時，連接OQ，

∵∠OMQ=∠D=90°，而BQ=t，

∴當時,△OMQ∽△CDA，

此時，解得t=3；

當時，△OMQ∽△ADC，

此時， ，解得t=10>3,(舍去)；

②當點Q在CD上時，連接OQ，而DQ=3+4t=7t=EM，

∴OM=t+7t=7t，

∴當時,△OMQ∽△CDA，

此時， ，解得t=3；

當時,△OMQ∽△ADC，

此時， 解得t=>7，(舍去)

綜上所述，當△QMO與△ACD相似時，t的值為3秒。