Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，頂點B的坐標為(4，2)．點M是邊BC上的一個動點(不與B、C重合)，反比例函數y＝(k＞0，x＞0)的圖象經過點M且與邊AB交于點N，連接MN．

(1)當點M是邊BC的中點時．

①求反比例函數的表達式；

②求△OMN的面積；

(2)在點M的運動過程中，試證明：是一個定值．

Answer 1

【答案】(1)①y＝；②3；(2)證明見解析.

【解析】

（1）①由矩形的性質及M是BC中點得出M（2，4），據此可得反比例函數解析式；

②先求出點N的坐標，從而得出CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，再根據S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN計算可得．

（2）設M（a，2），據此知反比例函數解析式為y＝，求出N（4，），從而得BM＝4﹣a，BN＝2﹣，再代入計算可得．

(1)①∵點B(4，2)，且四邊形OABC是矩形，

∴OC＝AB＝2，BC＝OA＝4，

∵點M是BC中點，

∴CM＝2，

則點M(2，2)，

∴反比例函數解析式為y＝；

②當x＝4時，y＝＝1，

∴N(4，1)，

則CM＝BM＝2，AN＝BN＝1，

∴S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN

＝4×2﹣×4×1﹣×2×2﹣×2×1

＝3；

(2)設M(a，2)，

則k＝2a，

∴反比例函數解析式為y＝，

當x＝4時，y＝，

∴N(4，)，

則BM＝4﹣a，BN＝2﹣，

∴＝＝＝2．