Question

【題目】如圖，正方形面積為，延長至點，使得，以為邊在正方形另一側作菱形，其中，依次延長類似以上操作再作三個形狀大小都相同的菱形，形成風車狀圖形，依次連結點則四邊形的面積為___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖所示，延長CD交FN于點P，過N作NK⊥CD于點K，延長FE交CD于點Q，交NS于點R，首先利用正方形性質結合題意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后進一步根據菱形性質得出DE=EF=DG=2，再后通過證明四邊形NKQR是矩形得出QR=NK=，進一步可得，再延長NS交ML于點Z，利用全等三角形性質與判定證明四邊形FHMN為正方形，最后進一步求解即可.

如圖所示，延長CD交FN于點P，過N作NK⊥CD于點K，延長FE交CD于點Q，交NS于點R，

∵ABCD為正方形，

∴∠CDG=∠GDK=90°，

∵正方形ABCD面積為1，

∴AD=CD=AG=DQ=1，

∴DG=CT=2，

∵四邊形DEFG為菱形，

∴DE=EF=DG=2，

同理可得：CT=TN=2，

∵∠EFG=45°，

∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，

∵FE∥DG，CT∥SN，DG⊥CT，

∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，

∴DQ=EQ=TK=NK=，FQ=FE+EQ=，

∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，

∴四邊形NKQR是矩形，

∴QR=NK=，

∴FR=FQ+QR=，NR=KQ=DKDQ=，

∴，

再延長NS交ML于點Z，易證得：△NMZ△FNR(SAS)，

∴FN=MN，∠NFR=∠MNZ，

∵∠NFR+∠FNR=90°，

∴∠MNZ+∠FNR=90°，

即∠FNM=90°，

同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，

∴四邊形FHMN為正方形，

∴正方形FHMN的面積=，

故答案為：.