Question

如圖，P₁是反比例函數在第一象限圖象上的一點，已知△P₁O A₁為等邊三角形，點A₁的坐標為(2，0)．

（1）直接寫出點P₁的坐標；
（2）求此反比例函數的解析式；
（3）若△P₂A₁A₂為等邊三角形，求點A₂的坐標．

Answer 1

（1）P₁(1，)；（2）；（3）（,0）.

試題分析：（1）由于△P₁OA₁為等邊三角形，作P₁C⊥OA₁，垂足為C，由等邊三角形的性質及勾股定理可求出點P₁的坐標；
（2）根據點P₁是反比例函數y=（k＞0）圖象上的一點，利用待定系數法求出此反比例函數的解析式；
（3）作P₂D⊥A₁A₂，垂足為D．設A₁D=a，由于△P₂A₁A₂為等邊三角形，由等邊三角形的性質及勾股定理，可用含a的代數式分別表示點P₂的橫、縱坐標，再代入反比例函數的解析式中，求出a的值，進而得出A₂點的坐標．
試題解析：（1）P₁(1，)；
（2）∵P₁在反比例函數（＞0）圖象上，∴,
∴，
∴反比例函數的解析式為；
（3）設等邊三角形P₂ A₁ A₂的邊長為a(a＞0)，則A₂（2+a,0）.
如圖，過P₂作P₂H⊥x軸，垂足為點H.

∴A₁H=a，P₂H= P₂ A₁sin∠P₂A₁H=a·sin60⁰=,
∴P₂(2+a,). 
∵ P₂在反比例函數圖象上，∴=，
即，解得：，（舍去）
∴2+a=,∴A₂（,0）
考點: 反比例函數綜合題.