Question

【題目】如圖，四邊形內接于，是的直徑，于，平分．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求的長；

（3）若，，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4cm；（3）

【解析】

（1）連接OA，推出∠OAD=∠ODA=∠EDA，推出OA∥CD，推出OA⊥AE，即可得出答案；

（2）求出∠BDC=∠EDA=∠ADB=60°，求出∠EAD=∠ABD=30°，求出AD，即可求出BD；

（3）設DE=a，則CD=3a，BC=4a，求出BD=5a，證△EAD∽△ABD，得出=，代入求出a即可．

（1）連接OA．

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．

∵DA平分∠EDB，∴∠EDA=∠ODA，∴∠OAD=∠EDA，∴OA∥CE．

∵AE⊥CD，∴OA⊥AE．

∵OA是⊙O的半徑，∴AE是⊙O的切線．

（2）∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD=∠BAD=90°．

∵∠DBC=30°，∴∠CDB=60°，∴∠EDA=∠ADB=（180°﹣60°）=60°．

∵AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∴∠EAD=30°．

∵DE=1cm，∴AD=2DE=2cm．

∵∠BAD=90°，∠ADB=60°，∴∠ABD=30°，∴BD=2AD=4cm．

答：BD的長是4cm．

（3）設DE=a，則CD=3a，BC=4a，由勾股定理得：BD=5a．

∵∠AED=∠BAD=90°，∠EAD=∠ABD，∴△EAD∽△ABD，∴=，即=，解得：a=，BD=5a=5．

答：BD的長是5．