Question

【題目】如圖，已知∠xOy=90°，線段AB=10，若點A在Oy上滑動，點B隨著線段AB在射線Ox上滑動(A，B與O不重合)，Rt△AOB的內切圓☉K分別與OA，OB，AB切于點E，F，P.

(1)在上述變化過程中，Rt△AOB的周長，☉K的半徑，△AOB外接圓半徑，這幾個量中不會發生變化的是什么?并簡要說明理由.

(2)當AE=4時，求☉K的半徑r.

(3)當Rt△AOB的面積為S，AE為x，試求S與x之間的函數關系，并求出S最大時直角邊OA的長.

Answer 1

【答案】(1)不會發生變化的是△AOB的外接圓半徑，理由見解析； (2)r=2；(3)S=-x2+10x，OA=5.

【解析】

(1）根據直角三角形的性質，斜邊上的中線等于斜邊的一半，AB的長不變，即△AOB的外接圓半徑不變；（2）設⊙K的半徑為r，連EK、KF，則四邊形EOFK是正方形，根據切線長定理，可求得r；
（3）設AO=b，OB=a，可得出r=，即2（b-x）+10=a+b，再由，則S=-x2+10x．再求得該函數的頂點坐標的橫坐標．

(1)不會發生變化的是△AOB的外接圓半徑.理由如下:

∵∠AOB=90°,

∴AB是△AOB的外接圓的直徑.

∵AB的長不變,

∴△AOB的外接圓半徑不變.

(2)設☉K的半徑為r,☉K與Rt△AOB相切于點E,F,P,連接EK,KF,

∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°,

∴四邊形EOFK是矩形.

又∵OE=OF,

∴四邊形EOFK是正方形,

∴OE=OF=r,

∵☉K是Rt△AOB的內切圓,切點分別為點E,F,P

,∴AE=AP=4,PB=BF=6,

(4+r)2+(6+r)2=100,解得r=-12(不符合題意),r=2.

(3)設AO=b,OB=a,

∵☉K與Rt△AOB三邊相切于點E,F,P,

∴OE=r=,即2(b-x)+10=a+b,

∴10-2x=a-b,

∴100-40x+4x2=a2+b2-2ab.

∵S=ab,

∴ab=2S,

∵a2+b2=102,

∴100-40x+4x2=100-4S,

∴S=-x2+10x=-(x-5)2+25.

∴當x=5時,S最大,即AE=BF=5,

∴OA==5.