Question

【題目】如圖（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D。AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F。

（1）求證：CE=CF。
（2）將圖（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使點E′落在BC邊上，其它條件不變，如圖(2)所示。試猜想：BE′與CF有怎樣的數量關系？請證明你的結論。

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD，∵∠ACB=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∵CD⊥AB，∴∠EAD+∠AED=90°， ∴∠CFA=∠AED ，又∵∠AED=∠CEF，∴∠CFA=∠AED，∴CE=CF

（2）答： =CF． 過點E作EG⊥AC于點G，

∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，

∴ED=EG，

∵△ADE平移得到 ，

∴ =DE，

∴ =GE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠DCB=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠B+∠DCB=90°，

∴∠ACD=∠B，在△CEG和 中，

∵ ，∴△CEG≌ （AAS），∴CE= ，又∵CE=CF，∴ =CF

【解析】（1）求證CE=CF可由等角對等邊，即若∠CFA=∠AED，則CE=CF。由AF平分∠CAB，∠CAF=∠EAD再利用互余關系易得結果。
（2）過點E作EG⊥AC于點G，由角平分線的性質可得ED=EG，再由平移可得 D ′ E ′ =GE，還有互余關系可得∠ACD=∠B，以及兩個直角，最后得證△CEG≌ △ B E ′ D ′推得 B E ′ =CF。