Question

（2013•莒南縣一模）【典型練習】如果兩個三角形有兩條邊和其中一邊上的中線對應相等，那么這兩個三角形全等．（無需證明）
【拓展變式】小明很順利的完成了上面的練習后，又進一步對該命題進行了發散思維，把原命題中的一些條件進行了變換，得到了如下三個不同的命題：
（1）如果兩個三角形有兩條邊和第三邊上的中線對應相等，那么這兩個三角形全等．
（2）如果兩個三角形有兩條邊和第三邊上的高對應相等，那么這兩個三角形全等．
（3）如果兩個三角形有兩條邊和夾角的平分線對應相等，那么這兩個三角形全等．
【探索新知】小明對這三個命題，無法判斷其命題的真假，于是他向老師求教．數學老師對命題（1）做出了一些指導，請你幫助小明完成下面的解答過程．
已知：如圖，AB=A′B′，AD=A′D′，AD是BC邊上的中線，A′D′是B′C′邊上的中線，求證：△ABC≌△A′B′C′，
證明：如圖，延長AD至E使AD=DE，連接BE，延長A′D′至E′使A′D′=D′E′，連接B′E′．
【合作學習】對于命題（2）、（3），你能幫助小明判斷命題的真假嗎？如果是真命題，請給完整的證明，如果是假命題，在下面的空白處做出解答．（要求：畫出圖形，說明理由．）

Answer 1

分析：命題（1）延長AD至E使AD=DE，連接BE，延長A′D′至E′使A′D′=D′E′，連接B′E′，證△ADC≌△EDB，推出AC=EB，∠DAC=∠E，同理A′C′=E′B′，∠D′A′C′=∠E′．求出AE=A′E′，證△ABE≌△A′B′E′，求出∠BAC=∠B′A′C′，根據SAS推出△ABC≌△A′B′C′即可；舉出反例圖形即可判斷命題（2）；證△ADC∽△EDB，推出

AD

DE

=

AC

BE

，求出

AD

DE

=

AC

AB

，同理

A′D′

D′E′

=

A′C′

A′B′

，求出AE=A′E′，證△ABE≌△A′B′E′，推出∠BAE=∠B′A′E′，求出∠BAC=∠B′A′C′，根據SAS推出△ABC≌△A′B′C′即可．

解答：解：命題（1）：
∵AD是BC邊的中線，
∴BD=DC，
∵在△ADC和△EDB中

AD=DE ∠ADC=∠EDB CD=BD

∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=EB，∠DAC=∠E，
同理A′C′=E′B′，∠D′A′C′=∠E′．
∵AD=A′D′，AD=DE，A′D′=D′E′，
∴AE=A′E′，
∵在△ABE和△A′B′E′中

AB=A′B′ BE=B′E′ AE=A′E′

∴△ABE≌△A′B′E′（SSS），
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠AEB=∠A′E′B′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
∵在△ABC和△A′B′C′中

AC=A′C′ ∠BAC=∠B′A′C′ AB=A′B′

∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
即命題（1）正確；

命題（2）是假命題．
反例：如圖所示，AB=A′B′，BC=B′C′，AD=A′D′，
△ABC與△A′B′C′不全等；

命題（3）是真命題．
如圖，AB=A′B′，AC=A′C′，AD=A′D′，AD是∠BAC的角平分線，A′D′是∠B′A′C′的角平分線，
求證：△ABC≌△A′B′C′．
證明：過B點作BE∥AC交AD的延長線于點E，過B′點作B′E′∥A′C′交A′D′的延長線于點E′．
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∵BE∥AC，
∴△ADC∽△EDB，
∴

AD

DE

=

AC

BE

，
∵AB=BE，
∴

AD

DE

=

AC

AB

，
同理

A′D′

D′E′

=

A′C′

A′B′

，
∵AB=A′B′，AC=A′C′，AD=A′D′，
∴DE=D′E′，
∴AE=A′E′，
∵在△ABE和△A′B′E′中

AB=A′B′ BE=B′E′ AE=A′E′

∴△ABE≌△A′B′E′（SSS），
∴∠BAE=∠B′A′E′，
∵AD是∠BAC的角平分線，A′D′是∠B′A′C′的角平分線，
∴2∠BAE=∠BAC，2∠B′A′E′=∠B′A′C′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
∵在△ABC和△A′B′C′中

AC=A′C′ ∠BAC=∠B′A′C′ AB=A′B′

∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），
即命題（3）正確．

點評：此題考查了相似形綜合題，用到的知識點是全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，平行線的性質．