Question

【題目】如圖，長方形ABCD在平面直角坐標系中，點A(1，8)，B(1，6)，C(7，6)．

(1)請直接寫出D點的坐標．

(2)連接OB，OD，BD，請求出三角形OBD的面積．

(3)若長方形ABCD以每秒1個單位長度的速度向下運動，當邊BC與x軸重合時，停止運動，設運動的時間為t秒，t為多少時，三角形OBD的面積等于長方形ABCD的面積的？

Answer 1

【答案】(1)D(7，8)；(2)S△OBD=17；(3)t＝3．

【解析】

（1）根據長方形的性質得出AB=DC，AD=BC，求出AD∥x軸，AB∥DC∥y軸，即可得出D的坐標．

（2）延長DA交y軸于M，則AM⊥y軸，求出OM=8，DM=7，AM=1，AD=6，AB=2，求出S△OBD＝S△ODM﹣S△ABD﹣S梯形AMOB，代入求出即可．

（3）延長DA交y軸于M，則AM⊥y軸，先算出S長方形ABCD和S△OBD，即可求出t值，進而得出答案.

解：（1）∵四邊形ABCD是長方形，

∴AB=DC，AD=BC，

∵點A（1，8），B（1，6），C（7，6）．

∴AD∥x軸，AB∥DC∥y軸，

∴D的坐標是（7，8），

故答案為：（7，8）．

（2）延長DA交y軸于M，則AM⊥y軸．

∵A(1，8)，B(1，6)，C(7，6)，D(7，8)

∴OM=8，DM=7，AM=1，AD=6，AB=2，

S△OBD＝S△ODM﹣S△ABD﹣S梯形AMOB

＝×OM×DM﹣×AB×AD﹣×(AB+OM)×AM

=×8×7﹣×2×6﹣×(2+8)×1

=17．

（3）延長DA交y軸于M，則AM⊥y軸．

∵S長方形ABCD＝2×6＝12，

S△OBD＝S△ODM－S△ABD－S梯形AMOB＝12×=8，

∴×(8－t)×7－×12－(2＋8－t)×1＝8，

解得：t＝3．

即t為3時，三角形OBD的面積等于長方形ABCD的面積的．