Question

如圖，已知直線過點和，是軸正半軸上的動點，的垂直平分線交于點，交軸于點．
（1）直接寫出直線的解析式；
（2）當時，設，的面積為，求S關于t的函數關系式；并求出S的最大值；
（3）當點Q在線段AB上（Q與A、B不重合）時，直線過點A且與x軸平行，問在上是否存在點C，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點C的坐標，并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1） ；
（2），當時，S有最大值；
（3）在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形．

解析試題分析：（1）已知直線L過A，B兩點，可將兩點的坐標代入直線的解析式中，用待定系數法求出直線L的解析式；
（2）求三角形OPQ的面積，就需知道底邊OP和高QM的長，已知了OP為t，關鍵是求出QM的長．已知了QM垂直平分OP，那么OM=，，再求即可；
（3）如果存在這樣的點C，那么CQ=QP=OQ，因此C，O就關于直線BL對稱，因此C的坐標應該是（1，1）．那么只需證明CQ⊥PQ即可．分情況進行討論．
試題解析：（1） ；
（2）∵，∴Q點的橫坐標為，
當，即時，，
∴．
當時，，
∴當時，S有最大值；
（3）∵，∴是等腰直角三角形，
若在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，
∴，∵、軸，∴
O、C關于直線對稱∴，得．
連接，則四邊形是正方形．
（i）當點在線段上，如圖–1．

由對稱性，得
，
∴，
∴．
即
（ii）當點在線段的延長線上，如圖–2，

∵∴由對稱性可知
∴，
∴．
綜合（i）（ii），．
∴在上存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形．
考點：二次函數綜合題．