Question

（2012•涼山州）在學習軸對稱的時候，老師讓同學們思考課本中的探究題．
如圖（1），要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣．泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？
你可以在l上找幾個點試一試，能發現什么規律？

聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法．他把管道l看成一條直線（圖（2）），問題就轉化為，要在直線l上找一點P，使AP與BP的和最小．他的做法是這樣的：
①作點B關于直線l的對稱點B′．
②連接AB′交直線l于點P，則點P為所求．
請你參考小華的做法解決下列問題．如圖在△ABC中，點D、E分別是AB、AC邊的中點，BC=6，BC邊上的高為4，請你在BC邊上確定一點P，使△PDE得周長最小．
（1）在圖中作出點P（保留作圖痕跡，不寫作法）．
（2）請直接寫出△PDE周長的最小值：

8

．

Answer 1

分析：（1）根據提供材料DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作D點關于BC的對稱點D′，連接D′E，與BC交于點P，P點即為所求；
（2）利用中位線性質以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．

解答：解：（1）作D點關于BC的對稱點D′，連接D′E，與BC交于點P，
P點即為所求；

（2）∵點D、E分別是AB、AC邊的中點，
∴DE為△ABC中位線，
∵BC=6，BC邊上的高為4，
∴DE=3，DD′=4，
∴D′E=

DE2+DD′2

=

32+42

=5，
∴△PDE周長的最小值為：DE+D′E=3+5=8，
故答案為：8．

點評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑以及三角形中位線的知識，根據已知得出要求△PDE周長的最小值，求出DP+PE的最小值即可是解題關鍵．