Question

【題目】△ABC中，BC=AC=5，AB=8，CD為AB邊上的高，如圖1，A在原點處，點B在y軸正半軸上，點C在第一象限，若A從原點出發，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動，則點B隨之沿y軸下滑，并帶動△ABC在平面上滑動．如圖2，設運動時間表為t秒，當B到達原點時停止運動．

（1）當t=0時，求點C的坐標；
（2）當t=4時，求OD的長及∠BAO的大小；
（3）求從t=0到t=4這一時段點D運動路線的長；
（4）當以點C為圓心，CA為半徑的圓與坐標軸相切時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

∵BC=AC，CD⊥AB，

∴D為AB的中點，

∴AD= AB=4．

在Rt△CAD中，CD= =3，

∴點C的坐標為（3，4）

（2）

解：如圖2，

當t=4時，AO=4，

在Rt△ABO中，D為AB的中點，OD= AB=4，

∴OA=OD=AD=4，

∴△AOD為等邊三角形，

∴∠BAO=60°

（3）

解：如圖3，

從t=0到t=4這一時段點D運動路線是弧DD1，其中，OD=OD1=4，

又∵∠D1OD=90°﹣60°=30°，

∴

（4）

解：分兩種情況：①設AO=t1時，⊙C與x軸相切，A為切點，如圖4．

∴CA⊥OA，

∴CA∥y軸，

∴∠CAD=∠ABO．

又∵∠CDA=∠AOB=90°，

∴Rt△CAD∽Rt△ABO，

∴ ，即 = ，

解得t1= ；

②設AO=t2時，⊙C與y軸相切，B為切點，如圖5．

同理可得，t2= ．

綜上可知，當以點C為圓心，CA為半徑的圓與坐標軸相切時，t的值為 或

【解析】（1）先由BC=AC，CD為AB邊上的高，根據等腰三角形三線合一的性質得出D為AB的中點，則AD= AB=4，然后在Rt△CAD中運用勾股定理求出CD=3，進而得到點C的坐標；（2）如圖2，當t=4時即AO=4，先由D為AB的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OD= AB=4，則OA=OD=AD=4，判定△AOD為等邊三角形，然后根據等邊三角形的性質求出∠BAO=60°；（3）從t=0到t=4這一時段點D運動路線是弧DD1 ， 由∠D1OD=30°，OD=4，根據弧長的計算公式求解；（4）分兩種情況：①⊙C與x軸相切，根據兩角對應相等的兩三角形相似證明△CAD∽△ABO，得出 ，求出AO的值；②⊙C與y軸相切，同理，可求出AO的值．