Question

如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF給出下列五個結論：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= EC．其中正確結論的序號是

1. A.
   ①②④⑤
2. B.
   ①②④
3. C.
   ④⑤
4. D.
   ①②⑤

Answer 1

A
解：作PH⊥AB于H，

∴∠PHB=90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEB=∠PEC=∠PFC=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=∠BDC=45°，∠ABC=∠C=90°，
∴四邊形BEPH和四邊形PECF是矩形，PE=BE，DF=PF，
∴四邊形BEPH為正方形，
∴BH=BE=PE=HP，
∴AH=CE，
∴△AHP≌△FPE，
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，
故①、②、④正確，
在Rt△PDF中，由勾股定理，得
PD=PF，
∴PD=CE．
故5正確．
∵點P在BD上，
∴當AP=AD、PA=PD或DA=DP時△APD是等腰三角形．
∴△APD是等腰三角形只有三種情況．
故④錯誤，
∴正確的個數有4個．
答案選A