Question

（2002•荊門）已知：如圖，PF是⊙O的切線，PE=PF，A是⊙O上一點，直線AE、AP分別交⊙O于B、D，直線DE交⊙O于C，連接BC，
（1）求證：PE∥BC；
（2）將PE繞點P順時針旋轉，使點E移到圓內，并在⊙O上另選一點A，如圖2．其他條件不變，在圖2中畫出完整的圖形．此時PE與BC是否仍然平行？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切割線定理，PE=PF得出PE：PD=PA：PE，∠APE=∠APE得出△EPD∽△APE，再根據外接圓的性質得出內錯角相等，得出PE∥BC．
（2）證明△EPD∽△APE，通過∠B=∠D得出內錯角相等PE∥BC．
解答：（1）證明：∵PF與⊙O相切，
∴PF2=PD•PA．
∵PE=PF，
∴PE²=PD•PA．
∴PE：PD=PA：PE．
∵∠APE=∠APE，
∴△EPD∽△APE．
∴∠PED=∠A．
∵∠ECB=∠A，
∴∠PED=∠ECB．
∴PE∥BC．

（2）解：PE與BC仍然平行．
證明：畫圖如圖，
∵△EPD∽△APE，
∴∠PEA=∠D．
∵∠B=∠D，
∴∠PEA=∠B．
∴PE∥BC．
點評：此題考查圓的切割線定理，外接圓的性質，相似三角形的判定和性質及平行線的判定．