Question

【題目】當m，n是正實數，且滿足m+n＝mn時，就稱點P（m，）為“完美點”．

（1）若點E為完美點，且橫坐標為2，則點E的縱坐標為　 　；若點F為完美點，且橫坐標為3，則點F的縱坐標為　 　；

（2）完美點P在直線　 　（填直線解析式）上；

（3）如圖，已知點A（0，5）與點M都在直線y＝﹣x+5上，點B，C是“完美點”，且點B在直線AM上．若MC＝，AM＝4，求△MBC的面積．

Answer 1

【答案】（1）1，2；（2）y＝x﹣1；（3）△MBC的面積=.

【解析】

（1）把m＝2和3分別代入m+n＝mn，求出n即可；

（2）求出兩條直線的解析式，再把P點的坐標代入即可；

（3）由m+n＝mn變式為＝m﹣1，可知P（m，m﹣1），所以在直線y＝x﹣1上，點A（0，5）在直線y＝﹣x+b上，求得直線AM：y＝﹣x+5，進而求得B（3，2），根據直線平行的性質從而證得直線AM與直線y＝x﹣1垂直，然后根據勾股定理求得BC的長，從而求得三角形的面積．

（1）把m＝2代入m+n＝mn得：2+n＝2n，

解得：n＝2，

即＝＝1，

所以E的縱坐標為1；

把m＝3代入m+n＝mn得：3+n＝3n，

解得：n＝，

即，

所以F的縱坐標為2；

故答案為：1，2；

（2）設直線AB的解析式為y＝kx+b，

從圖象可知：與x軸的交點坐標為（5，0）A（0，5），

代入得：，

解得：k＝﹣1，b＝5，

即直線AB的解析式是y＝﹣x+5，

設直線BC的解析式為y＝ax+c，

從圖象可知：與y軸的交點坐標為（0，﹣1），與x軸的交點坐標為（1，0），

代入得：，

解得：a＝1，c＝﹣1，

即直線BC的解析式是y＝x﹣1，

∵P（m，），m+n＝mn且m，n是正實數，

∴除以n得：，即

∴P（m，m﹣1）即“完美點”P在直線y＝x﹣1上；

故答案為：y＝x﹣1；

（3）∵直線AB的解析式為：y＝﹣x+5，直線BC的解析式為y＝x﹣1，

∴，

解得：，

∴B（3，2），

∵一、三象限的角平分線y＝x垂直于二、四象限的角平分線y＝﹣x，而直線y＝x﹣1與直線y＝x平行，直線y＝﹣x+5與直線y＝﹣x平行，

∴直線AM與直線y＝x﹣1垂直，

∵點B是直線y＝x﹣1與直線AM的交點，

∴垂足是點B，

∵點C是“完美點”，

∴點C在直線y＝x﹣1上，

∴△MBC是直角三角形，

∵B（3，2），A（0，5），

∴

∵，

∴

又∵，

∴BC＝1，

∴S△MBC＝．