Question

（1）閱讀理解：配方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，用配方法可求最大（小）值．
對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，可作如下變形a+b=(

a

)2+(

b

)2=(

a

)2+(

b

)2-2

ab

+2

ab

=(

a

-

b

)2+2

ab

，
又∵(

a

-

b

)2≥0，∴(

a

-

b

)2+2

ab

≥0+2

ab

，即a+b≥2

ab

．
根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：在a+b≥2

ab

（a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2

p

，當(dāng)且僅當(dāng)a、b滿足

 

時(shí)，a+b有最小值2

p

．
（2）思考驗(yàn)證：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，CO為AB邊上中線，AD=2a，DB=2b，試根據(jù)圖形驗(yàn)證a+b≥2

ab

成立，并指出等號(hào)成立時(shí)的條件．
（3）探索應(yīng)用：如圖2，已知A為反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象上一點(diǎn)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在A處旋轉(zhuǎn)，保持兩直角邊始終與x軸交于兩點(diǎn)D、E，F(xiàn)（0，-3）為y軸上一點(diǎn)，連接DF、EF，求四邊形ADFE面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）有給出的材料可知a=b時(shí)；
（2）因?yàn)锳D=2a，DB=2b，所以AB=2a+2b，CO為中線，所以CO=a+b，再利用射影定理得CD=

AD•DB

=2

ab

，在直角三角形COD中斜邊大于直角邊即CO＞CD，問(wèn)題得證；
（3）把A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，代入函數(shù)y=

4

x

得，y=4，由（2）知：當(dāng)DH=EH時(shí)，DE最小，此時(shí)S_{四邊形ADFE}=

1

2

×8×（4+3）=28．

解答：解：（1）a=b

（2）由已知得CO=a+b，CD=2

ab

，
CO≥CD，即a+b≥2

ab

．
當(dāng)D與O重合時(shí)或a=b時(shí)，等式成立．

（3）S_{四邊形ADFE}=S_△ADE+S_△FDE
=

1

2

DE•|yA|+

1

2

DE•OF=

1

2

DE(|yA|+OF)，
當(dāng)DE最小時(shí)S_{四邊形ADFE}最小．
過(guò)A作AH⊥x軸，由（2）知：當(dāng)DH=EH時(shí)，DE最小，
在RT△ADE中，AH=

1

2

DE，
∴DE=2AH=2×4=8，
∴DE最小值為8，
此時(shí)S_{四邊形ADFE}=

1

2

×8×（4+3）=28．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用：利用圖象解決問(wèn)題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在．已知點(diǎn)在圖象上，那么點(diǎn)一定滿足這個(gè)函數(shù)解析式，反過(guò)來(lái)如果這點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式，那么這個(gè)點(diǎn)也一定在函數(shù)圖象上．還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大小．將數(shù)形結(jié)合在一起，是分析解決問(wèn)題的一種好方法．