在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據圖①和圖②發現并驗證了平方差公式和完全平方公式
這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數量關系因集合直觀而形象化。
【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數字相同，且個位數字之和是10的兩個兩位數相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個正數的乘積，以47×43為例：
（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面。
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式，47×43的矩形面積或（40＋7＋3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位數字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數字3與7的積，構成運算結果。
歸納提煉：
兩個十位數字相同，并且個位數字之和是10的兩位數相乘的速算方法是（用文字表述）
.
【研究方程】
提出問題：怎么圖解一元二次方程
幾何建模：
（1）變形：
（2）畫四個長為
，寬為
的矩形，構造圖④
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，
或四個長
，寬
的矩形之和，加上中間邊長為2的小正方形面積
即：
∵
∴
∴
∵
∴
歸納提煉：求關于
的一元二次方程
的解
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標注相關線段的長）
【研究不等關系】
提出問題：怎么運用矩形面積表示
與
的大小關系（其中
）？
幾何建模：
（1）畫長
，寬
的矩形，按圖⑤方式分割
（2）變形：
（3）分析：圖⑤中大矩形的面積可以表示為
；陰影部分面積可以表示為
，
畫點部分的面積可表示為
，由圖形的部分與整體的關系可知：
＞
，即
＞
歸納提煉：
當
，
時，表示
與
的大小關系
根據題意，設
，
，要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標注相關線段的長）
的整數解有【 】 個．
，
的一個根為2.
的解是 ．
，則輸出結果為 ．
的值為【 】
的根的情況是( )