Question

如圖，現(xiàn)有兩塊全等的直角三角形紙板Ⅰ，Ⅱ，它們兩直角邊的長分別為1和2．將它們分別放置于平面直角坐標(biāo)系中的△AOB，△COD處，直角邊OB，OD在x軸上．一直尺從上方緊靠兩紙板放置，讓紙板Ⅰ沿直尺邊緣平行移動．當(dāng)紙板Ⅰ移動至△PEF處時，設(shè)PE，PF與OC分別交于點(diǎn)M，N，與x軸分別交于點(diǎn)G，H．
（1）求直線AC所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P是線段AC（端點(diǎn)除外）上的動點(diǎn)時，試探究：
①點(diǎn)M到x軸的距離h與線段BH的長是否總相等？請說明理由；
②兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部分）的面積S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及S取最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角板的直角邊長分別為1和2可知：AB=OD=2，OB=CD=1．即A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，2）；C點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1）．可根據(jù)A、C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出直線AC的函數(shù)解析式．
（2）①M(fèi)到x軸的距離就是M的縱坐標(biāo)，而BH的長就是P的橫坐標(biāo)減去OB的長，可先根據(jù)直線AC的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，那么可得出BH的長．根據(jù)∠GPH的正切值，可表示出GH的長，也就求出了G點(diǎn)的坐標(biāo)．然后求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)．可先根據(jù)OC所在直線的解析式設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線PG的解析式中（可根據(jù)P，G兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得）可得出M縱坐標(biāo)的表達(dá)式，然后同BH的表達(dá)式進(jìn)行比較即可得出M到x軸的距離是否與BH相等．
②根據(jù)①我們可得出M、N、G三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)陰影部分的面積=△ONH的面積-△OMG的面積．即可得出關(guān)于S的函數(shù)解析式．然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值以及對應(yīng)的P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由直角三角形紙板的兩直角邊的長為1和2，
知A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，2），（2，1）．
設(shè)直線AC所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b．
有

k+b=2 2k+b=1

解得

k=-1 b=3

∴直線AC所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3．

（2）①點(diǎn)M到x軸距離h與線段BH的長總相等．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1），
∴直線OC所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

2

x．
又∵點(diǎn)P在直線AC上，
∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，3-a）．
過點(diǎn)M作x軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)K，則有MK=h．
∵點(diǎn)M在直線OC上，
∴有M（2h，h）．
∵紙板為平行移動，
故有EF∥OB，即EF∥GH．
又EF⊥PF，∴PH⊥GH．
故Rt△PHG∽Rt△PFE，可得

GH

PH

=

EF

PF

=

1

2

．
故GH=

1

2

PH=

1

2

（3-a）．
∴OG=OH-GH=a-

1

2

（3-a）=

3

2

（a-1）．
故G點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

（a-1），0）．
設(shè)直線PG所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=cx+d，
則有

3-a=ca+d 0= 3 2 c(a-1)+d

解得

c=2 d=3-3a

∴直線PG所對的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+（3-3a）
將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入，可得h=4h+（3-3a）．
解得h=a-1．
而BH=OH-OB=a-1，從而總有h=BH．
②由①知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2a-2，a-1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（a，

1

2

a）．
S=S_△ONH-S_△OMG=

1

2

NH×OH-

1

2

OG×h=

1

2

×

1

2

a×a-

1

2

×

3a-3

2

×（a-1）
=-

1

2

a²+

3

2

a-

3

4

=-

1

2

(a-

3

2

)2+

3

8

．
當(dāng)a=

3

2

時，S有最大值，最大值為

3

8

．
S取最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

3

2

，

3

2

)．

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、圖形平移變換、三角形相似等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．