Question

【題目】已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F，且∠EAF=60°．
（1）如圖1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數量關系；
（2）如圖2，當點E是線段CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF；
（3）如圖3，當點E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15°時，求點F到BC的距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：結論AE=EF=AF．理由：如圖1中

，連接AC，

∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，

∴△ABC，△ADC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠DAC=60°

∵BE=EC，

∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，

∵∠EAF=60°，

∴∠CAF=∠DAF=30°，

∴AF⊥CD，

∴AE=AF（菱形的高相等），

∴△AEF是等邊三角形，

∴AE=EF=AF．

（2）

解：證明：如圖2中

，∵∠BAC=∠EAF=60°，

∴∠BAE=∠CAE，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF，

∴BE=CF．

（3）

解：

過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，

∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，

∴∠AEB=45°，

在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，

∴BG=2，AG=2 ，

在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，

∴AG=GE=2 ，

∴EB=EG﹣BG=2 ﹣2，

∵△AEB≌△AFC，

∴AE=AF，EB=CF=2 ﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，

∵∠EAF=60°，AE=AF，

∴△AEF是等邊三角形，

∴∠AEF=∠AFE=60°

∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，

∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，

在RT△EFH中，∠CEF=15°，

∴∠EFH=75°，

∵∠AFE=60°，

∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，

∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，

在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2 ﹣2，

∴FH=CFcos30°=（2 ﹣2） =3﹣ ．

∴點F到BC的距離為3﹣ ．

【解析】（1）結論AE=EF=AF．只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形．
　　　　（2）欲證明BE=CF，只要證明△BAE≌△CAF即可．（3）過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，根據FH=CFcos30°，因為CF=BE，只要求出BE即可解決問題． 本題考查四邊形綜合題、菱形的性質、等邊三角形的判定、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．
【考點精析】通過靈活運用菱形的性質，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半即可以解答此題．