Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2－（2m＋3）x＋m2＋2＝0。

（1）若方程有實數根，求實數m的取值范圍；

（2）若方程兩實數根分別為，且滿足，求實數m的值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】

（1）根據方程有實數根結合根的判別式，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出結論；

（2）利用根與系數的關系可得出x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，結合x12+x22=31+x1x2即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．

解：（1）∵方程x2-（2m+3）x+m2+2=0有實數根，

∴△=[-（2m+3）]2-4（m2+2）=12m+1≥0，

解得：．

（2）∵方程x2-（2m+3）x+m2+2=0的兩個根分別為x1、x2，

∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，

∵x12+x22=31+x1x2，

∴(x1+x2)2-2x1x2=31+x1x2，

即m2+12m-28=0，

解得：m1=2，m2=-14（舍去），

∴實數m的值為2．