Question

【題目】已知：AB∥CD，平面內有一點E，連接AE、CE

（1）如圖1，求證：∠E＝∠A+∠C；

（2）如圖2，CD上有一點F，連接AF、EF，若∠FAE＝∠FEA，∠EFD＝2∠C，求證：∠AFC＝2∠AEC；

（3）如圖3，在（2）的條件下，平面內有一點G，連接AG、CG，若∠GCE與∠GAE互為補角，5∠AFC＝2∠G，求∠G的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）∠G的度數為150°．

【解析】

（1）過E作EF∥AB，根據平行線的性質，即可得出∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，進而得到∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C；

（2）設∠BAE＝α，∠DCE＝β，由（1）可得，∠AEC＝∠BAE+∠C＝α+β，根據角的和差關系可得，∠BAF＝∠EAF+∠BAE＝α+2β+α＝2（α+β），最后根據∠AFC＝∠BAF＝2（α+β），可得∠AFC＝2∠AEC；

（3）設∠G＝α，根據5∠AFC＝2∠G，可得∠AFC＝α，再根據∠AFC＝2∠AEC，可得∠AEC＝∠AFC＝α，最后根據四邊形AECG中，∠GCE與∠GAE互為補角，可得∠G+∠AEC＝180°，據此可得方程α+α＝180°，求得∠G的度數為150°．

（1）如圖，過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥CD，

∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，

∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C；

（2）設∠BAE＝α，∠DCE＝β，則

由（1）可得，∠AEC＝∠BAE+∠C＝α+β，

∵∠EFD＝2∠C，∠EFD＝∠C+∠CEF，

∴∠C＝∠CEF＝β，

∴∠AEF＝α+2β，

又∵∠FAE＝∠FEA，

∴∠FAE＝α+2β，

∴∠BAF＝∠EAF+∠BAE＝α+2β+α＝2（α+β），

又∵AB∥CD，

∴∠AFC＝∠BAF＝2（α+β），

∴∠AFC＝2∠AEC；

（3）設∠G＝α，

根據5∠AFC＝2∠G，可得∠AFC＝α，

又∵∠AFC＝2∠AEC，

∴∠AEC＝∠AFC＝α，

∵四邊形AECG中，∠GCE與∠GAE互為補角，

∴∠G+∠AEC＝180°，

即α+α＝180°，

∴α＝150°，

即∠G的度數為150°．