Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，AB=2，AD和BE是圓O的兩條切線，A、B為切點，過圓上一點C作⊙O的切線CF，分別交AD、BE于點M、N，連接AC、CB，若∠ABC=30°，則AM= ．

Answer 1

【答案】．

【解析】試題分析：連接OM，OC，由OB=OC，且∠ABC的度數求出∠BCO的度數，利用外角性質求出∠AOC度數，利用切線長定理得到MA=MC，利用HL得到三角形AOM與三角形COM全等，利用全等三角形對應角相等得到OM為角平分線，求出∠AOM為30°，在直角三角形AOM中，利用銳角三角函數定義即可求出AM的長．

解：連接OM，OC，

∵OB=OC，且∠ABC=30°，

∴∠BCO=∠ABC=30°，

∵∠AOC為△BOC的外角，

∴∠AOC=2∠ABC=60°，

∵MA，MC分別為圓O的切線，

∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，

在Rt△AOM和Rt△COM中，

，

∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），

∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，

在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°，

∴tan30°=，即=，

解得：AM=．

故答案為：．