Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx﹣3經過點A，B，C，已知點A（﹣1，0），點B（3，0）

（1）求拋物線的解析式

（2）點D為拋物線的頂點，DE⊥x軸于點E，點N是線段DE上一動點

①當點N在何處時，△CAN的周長最小？

②若點M（m，0）是x軸上一個動點，且∠MNC＝90°，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①N（1，﹣2）；②﹣≤m≤5．

【解析】

（1）函數的表達式為：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），即可求解；

（2）①過點C作x軸的平行線交拋物線于點C'（2，﹣3），連接AC'交DE于點N，則此時△CAN的周長最小，即可求解；

②如圖2，ME=﹣n2+3n，求出ME最大值，則可求出m的最小值；當點N與點D處時，m取得最大值，求解即可．

（1）函數的表達式為：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a=﹣3，解得：a=1，故函數的表達式為：y=x2﹣2x﹣3；

（2）①過點C作x軸的平行線交拋物線于點C'（2，﹣3），連接AC'交DE于點N，則此時△CAN的周長最小．

設過點A、C'的一次函數表達式為y=kx+b，則：，解得：，故直線AC'的表達式為：y=﹣x﹣1，當x=1時，y=﹣2，故點N（1，﹣2）；

②如圖2，過點C作CG⊥ED于點G．

設NG=n，則NE=3﹣n．

∵∠CNG+∠GCN=90°，∠CNG+∠MNE=90°，∴∠NCG=∠MNE，則tan∠NCG=n=tan∠MNE，故ME=﹣n2+3n，∴﹣1＜0，故ME有最大值，當n時，ME，則m的最小值為：；

如下圖所示，當點N與點D重合時，m取得最大值．

過C作CG⊥ED于G．

∵y=x2﹣2x﹣3= y=（x－1）2﹣4，∴D（1，－4），∴CG=OE=1．

∵EG=OC=3∴GD=4－3=1，∴CG=DG=1，∴∠CDG=45°．

∵∠CDM=90°，∴∠EDM=45°，∴△EDM是等腰直角三角形，∴EM=ED=4，∴OM=OE+EM=1+4=5，∴m=5．

故：m≤5．