Question

【題目】已知m,n是方程x2－6x+5=0的兩個實數根，且m<n，拋物線

y=－x2+bx+c的圖象經過點A(m,0)、B(0,n)．

(1)求這個拋物線的解析式；

(2)設（1）中拋物線與x軸的另一交點為C,拋物線的頂點為D，試求出點C、D的坐標和△BCD的面積；

(3)P是線段OC上的一點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點，若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出P點的坐標．

Answer 1

【答案】(1)、y=－x2－4x+5；(2)、15；(3)、(－,0)或(－,0).

【解析】

試題分析：(1)、首先求出方程的解得出點A和點B的坐標，然后利用待定系數法求出函數解析式；(2)、根據二次函數的解析式得出點C的坐標和頂點坐標，過D作x軸的垂線交x軸于M，從而求出△DMC、梯形MDBO和△BOC的面積，然后得出面積；(3)、設P點的坐標為（a,0），得出直線BC的方程，則PH與直線BC的交點坐標為(a，a+5)，PH與拋物線的交點坐標為H(a,－a2－4a+5)，然后根據EH=EP和EH=EP兩種情況分別求出點P的坐標.

試題解析：(1)、解方程x2－6x+5=0，得x1=5,x2=1.由m<n，m=1,n=5,

所以點A、B的坐標分別為A（1，0）,B（0，5）．將A（1，0）,B（0，5）的坐標分別代入y=－x2+bx+c,

得解這個方程組得

所以，拋物線的解析式為y=－x2－4x+5.

(2)、由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0，解這個方程得x1=－5,x2=1,

所以C點的坐標為（－5，0）．由頂點坐標公式計算得點D（－2，9）．

過D作x軸的垂線交x軸于M．則S△DMC=×9×(5－2)=，

S梯形MDBO=×2×(9+5)=14，S△BOC=×5×5=，

所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC－S△BOC=14+－=15．

(3)、設P點的坐標為（a,0），

因為線段BC過B、C兩點，所以BC所在的直線方程為y=x+5．

那么，PH與直線BC的交點坐標為E(a,a+5)，

PH與拋物線y=－x2－4x+5的交點坐標為H(a,－a2－4a+5)．

由題意，得①EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5).

解這個方程，得a=－或a=－5（舍去）.

②EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5)，

解這個方程,得a=－或a=－5（舍去），

∴P點的坐標為(－,0)或(－,0)．