Question

【題目】閱讀下列材料，解答問題：
定義：線段AD把等腰三角形ABC分成△ABD與△ACD（如圖1），如果△ABD與△ACD均為等腰三角形，那么線段AD叫做△ABC的完美分割線.

（1）如圖1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD為△ABC的完美分割線，且BD<CD，則∠B= ， ∠ADC=.
（2）如圖2，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE為△ABC的角平分線，求證：BE為△ABC完美分割線.
（3）如圖3，已知△ABC是一等腰三角形紙片，AB=AC，AD是它的一條完美分割線，將△ABD沿直線AD折疊后，點B落在點B1處，AB1交CD于點E，求證：DB1=EC.

Answer 1

【答案】
（1）36o；72o
（2）

證明：∵AB=AC

∴∠ABC=∠C=

∵BE為△ABC的角平分線

∴

∴∠ABE=∠A

∴AE=BE∵∠BEC=180–∠C–∠CBE=72

∴∠BEC=∠C

∴BE=BC

∴△ABE、△BEC均為等腰三角形

∴BE為△ABC的完美分割線．

（3）

證明：∵AD是△ABC的一條完美分割線

∴AD=BD，AC=CD

∴∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA

∵∠B+∠BAD+∠ADB=180，∠ADB+∠CDA=180

∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠BAD

∴∠CAD=2∠BAD

∵∠BAD=∠B1AD

∴∠CAD=2∠B1AD

∵∠CAD=∠B1AD+∠CAE

∴∠B1AD=∠CAE

∵AB=AC

∴∠B=∠C

∵∠B=∠B1

∴∠B1=∠C

∵AB=AB1

∴AB1= AC

∴△AB1D≌△ACE

∴DB1=CE

【解析】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠B= =36°，∵AD為△ABC的完美分割線，BD<CD，∴AC=AD，BD=AD，∴∠ADC= 72°.
所以答案是72°.