Question

【題目】我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.

(1)寫出你所學過的特殊的四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱 、 ；

(2)如圖1，已知格點（小正方形的頂點）O0,0、A3,0、B0,4，點C 為圖中所給方格中的另一個格點，四邊形OACB 是以OA 、OB 為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形，求點C 的坐標；

(3)如圖2，將ABC（ BC AB ）繞頂點 B 按順時針方向旋轉60，得到DBE ，連接 AD 、DC ，四邊形 ABCD 是勾股四邊形，其中DC 、BC 為勾股邊，求DCB 的度數.

Answer 1

【答案】（1）矩形，正方形（答案不唯一）；（2）C（3,4），（4,3）；（3）∠DCB=30°.

【解析】

（1）根據矩形與正方形的性質可得答案；

（2）利用勾股定理可得AB=5，然后在格點中找滿足OC=5的點即可；

（3）連接CE，根據旋轉的性質可得△ABC≌△DBE，則BC=BE，因為∠CBE=60°，所以△BCE是等邊三角形，則BC=CE，∠BCE=60°，根據勾股四邊形的定義與勾股定理的逆定理可得∠DCE=90°，則可得∠DCB的度數.

解：（1）矩形；正方形（答案不唯一）；

（2） ，

則C點坐標如圖為：（3,4），（4,3）；

（3）連接CE，

由旋轉的性質得：△ABC≌△DBE，則BC=BE，AC=BD，

∵∠CBE=60°，

∴△BCE是等邊三角形，

∴BC=CE，∠BCE=60°，

∵四邊形ABCD為勾股四邊形，其中DC、BC為勾股邊，

∴，

∴ ，

∴∠DCE=90°，

∴∠BCD=∠DCE﹣∠BCE=90°﹣60°=30°.