Question

【題目】如圖①拋物線(xiàn)y＝﹣x2+（m﹣1）x+m與直線(xiàn)y＝kx+k交于點(diǎn)A、B，其中A點(diǎn)在x軸上，它們與y軸交點(diǎn)分別為C和D，P為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，且點(diǎn)P縱坐標(biāo)為4，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交直線(xiàn)于點(diǎn)Q．

（1）試用含k的代數(shù)式表示點(diǎn)Q、點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）連接PC，若四邊形CDQP的內(nèi)部（包括邊界和頂點(diǎn)）只有4個(gè)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，求k的取值范圍．

（3）如圖②，四邊形CDQP為平行四邊形時(shí)，

①求k的值；

②E、F為線(xiàn)段DB上的點(diǎn)（含端點(diǎn)），橫坐標(biāo)分別為a，a+n（n為正整數(shù)），EG∥y軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)G．問(wèn)是否存在正整數(shù)n，使?jié)M足tan∠EGF的點(diǎn)E有兩個(gè)？若存在，求出n；若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）Q（1，2k），B（﹣k+3，﹣k2+4k）；（2）1＜k；（3）①k＝1；②不存在，理由見(jiàn)解析．

【解析】

（1）由圖可知，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，頂點(diǎn)P縱坐標(biāo)為4，用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即列得關(guān)于m的不等式和方程，求解即得到m的值，進(jìn)而得到拋物線(xiàn)解析式．把頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入直線(xiàn)y＝kx+k即得到用k表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)．令拋物線(xiàn)解析式為0，解方程求得點(diǎn)A坐標(biāo)．把直線(xiàn)與拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立方程組并整理得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得xA+xB的值，把xA代入即求得點(diǎn)B橫坐標(biāo)進(jìn)而求得B的縱坐標(biāo)．

（2）由（1）得C（0，3），P（1，4），即四邊形CDQP的內(nèi)部（包括邊界和頂點(diǎn)）有2個(gè)滿(mǎn)足橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)P、C，另外兩個(gè)滿(mǎn)足的點(diǎn)應(yīng)該是M（0，2）、N（1，3），由圖象可知此時(shí)點(diǎn)D在線(xiàn)段MS上（不與S（0，1）重合），點(diǎn)Q在線(xiàn)段NR上（不與點(diǎn)R（1，2）重合）．因?yàn)?/span>D（0，k），Q（1，2k），即列得關(guān)于k的不等式組，求解即得到k的取值范圍．

（3）①求直線(xiàn)CP解析式，由四邊形CDQP為平行四邊形可得DQ∥CP，即直線(xiàn)y＝kx+k的k與直線(xiàn)CP解析式的一次項(xiàng)系數(shù)相等，求得k＝1．

②過(guò)點(diǎn)F作FH⊥⊥EG于點(diǎn)H，則Rt△FGH中，tan∠EGF，即GH＝2FH．由點(diǎn)E、F橫坐標(biāo)分別為a，a+n，可用含a、n的式子表示FH、GH的長(zhǎng)，代入GH＝2FH，得到關(guān)于a的一元二次方程（n為常數(shù)）．因?yàn)闈M(mǎn)足tan∠EGF的點(diǎn)E有兩個(gè)，即關(guān)于a的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由△＞0求得n的取值范圍小于0，故不存在滿(mǎn)足條件的正整數(shù)n．

解：（1）∵拋物線(xiàn)y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的頂點(diǎn)P縱坐標(biāo)為4，

∴4

解得：m1＝3，m2＝﹣5

∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)

∴0

解得：m＞1

∴m＝3

∴拋物線(xiàn)為y＝﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)P（1，4）

∵直線(xiàn)y＝kx+k與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)Q

∴Q（1，2k）

∵y＝﹣x2+2x+3＝0時(shí)，解得：x1＝﹣1，x2＝3

∴A（﹣1，0）

∵ 整理得：x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0

∴xA+xB＝﹣（k﹣2）

∴xB＝﹣（k﹣2）﹣xA＝﹣（k﹣2）﹣（﹣1）＝﹣k+3

∴yB＝kxB+k＝﹣k2+4k

∴B（﹣k+3，﹣k2+4k）

（2）∵C（0，3），P（1，4），D（0，k），Q/span>（1，2k）

∴當(dāng)四邊形CDQP的內(nèi)部（包括邊界和頂點(diǎn)）只有4個(gè)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，

4個(gè)點(diǎn)是C、P、M（0，2）、N（1，3）（如圖1）

∴點(diǎn)D在線(xiàn)段MS上（不與S（0，1）重合），點(diǎn)Q在線(xiàn)段NR上（不與點(diǎn)R（1，2）重合）

∴，解得：1＜k

（3）①∵C（0，3），P（1，4）

∴直線(xiàn)CP解析式為y＝x+3

∵四邊形CDQP為平行四邊形

∴DQ∥CP，即直線(xiàn)y＝kx+k平行直線(xiàn)CP

∴k＝1

②不存在滿(mǎn)足條件的正整數(shù)n．

如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EG于點(diǎn)H

∴∠FHE＝∠FHG＝90°

∵k＝1

∴直線(xiàn)AB：y＝x+1

∵點(diǎn)E在線(xiàn)段DB上橫坐標(biāo)為a，EG∥y軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)G

∴E（a，a+1），G（a，﹣a2+2a+3）

∵點(diǎn)F在線(xiàn)段DB上橫坐標(biāo)為a+n

∴FH＝xF﹣xE＝n，F（a+n，a+n+1）

∴GH＝yG﹣yF＝﹣a2+2a+3﹣（a+n+1）＝﹣a2+a+2﹣n

∵Rt△FGH中，tan∠EGF

∴GH＝2FH

∴﹣a2+a+2﹣n＝2n，整理得：a2﹣a+3n﹣2＝0

∵滿(mǎn)足tan∠EGF的點(diǎn)E有兩個(gè)，

∴關(guān)于a的方程a2﹣a+3n﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

∴△＝1﹣4（3n﹣2）＞0

解得：0＜n

∴不存在正整數(shù)n，使?jié)M足tan∠EGF的點(diǎn)E有兩個(gè)．