Question

【題目】如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點，并經過B點，已知A點坐標是（2，0），B點的坐標是（8，6）．

（1）求二次函數的解析式．

（2）求函數圖象的頂點坐標及D點的坐標．

（3）該二次函數的對稱軸交x軸于C點．連接BC，并延長BC交拋物線于E點，連接BD，DE，求△BDE的面積．

（4）拋物線上有一個動點P，與A，D兩點構成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，請求出P點的坐標；若不存在．請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數解析式為：y=x2﹣4x+6；

（2）函數圖象的頂點坐標為（4，﹣2），點D的坐標為（6，0）；

（3）△BDE的面積為7.5．

（4）存在，P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）．

【解析】

試題（1）利用待定系數法求出b，c即可求出二次函數解析式；

（2）把二次函數式轉化可直接求出頂點坐標，由A對稱關系可求出點D的坐標；

（3）由待定系數法可求出BC所在的直線解析式，與拋物線組成方程求出點E的坐標，利用△BDE的面積=△CDB的面積+△CDE的面積求出△BDE的面積；

（4）設點P到x軸的距離為h，由S△ADP=S△BCD求出h的值，根據h的正，負值求出點P的橫坐標即可求出點P的坐標．

試題解析：（1）∵二次函數y=x2+bx+c的圖象過A（2，0），B（8，6）

∴，解得

∴二次函數解析式為：y=x2﹣4x+6；

（2）由y=x2﹣4x+6，得y=（x﹣4）2﹣2，

∴函數圖象的頂點坐標為（4，﹣2），

∵點A，D是y=x2+bx+c與x軸的兩個交點，

又∵點A（2，0），對稱軸為x=4，

∴點D的坐標為（6，0）；

（3）∵二次函數的對稱軸交x軸于C點．

∴C點的坐標為（4，0）

∵B（8，6），

設BC所在的直線解析式為y=kx+b，

∴解得

∴BC所在的直線解析式為y=x﹣6，

∵E點是y=x﹣6與y=x2﹣4x+6的交點，

∴x﹣6=x2﹣4x+6

解得x1=3，x2=8（舍去），

當x=3時，y=﹣3，

∴E（3，﹣），

∴△BDE的面積=△CDB的面積+△CDE的面積=×2×6+×2×=7.5．

（4）存在，

設點P到x軸的距離為h，

∵S△BCD=×2×6=6，S△ADP=×4×h=2h，

∵S△ADP=S△BCD

∴2h=6×，解得h=，

當P在x軸上方時，

=x2﹣4x+6，解得x1=4+，x2=4﹣，

當當P在x軸下方時，

﹣=x2﹣4x+6，解得x1=3，x2=5，

∴P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）．