Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點，

（1）求證：AC2=ABAD；

（2）求證：CE∥AD；

（3）若AD=4，AB=6，求 的值．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB。

∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB。

∴，即AC2=ABAD。

（2）證明：∵E為AB的中點，∴CE=AB=AE。∴∠EAC=∠ECA。

∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA。∴CE∥AD。

（3）∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴。

∵CE=AB，∴CE=×6=3。

∵AD=4，∴。∴。

【解析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得AC2=ABAD。

（2）由E為AB的中點，根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE=AB=AE，從而可證得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD。

（3）易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得的值，從而得到的值。