Question

已知：在如圖1所示的平面直角坐標系xOy中，A、C兩點的坐標分別為A（4，2），C（n，-2）（其中n＞0），點B在x軸的正半軸上．動點P從點O出發，在四邊形OABC的邊上依次沿O-A-B-C的順序向點C移動，當點P與點C重合時停止運動．設點P移動的路徑的長為l，△POC的面積為S，S與l的函數關系的圖象如圖2所示，其中四邊形ODEF是等腰梯形．

（1）結合以上信息及圖2填空：圖2中的m=

2

5

；
（2）求B、C兩點的坐標及圖2中OF的長．

Answer 1

分析：（1）利用當P點運動到A點時，△POC的面積為12，求出斜邊AO即可；
（2）圖1中四邊形ODEF是等腰梯形，點D的坐標為D（m，8），得出y_E=y_D=8，此時圖2中點P運動到與點B重合，根據點P在AB上運動時△POC的面積不變，可得AB與OC平行，求出直線AB的解析式，可得出直線OC的解析式，再由點C縱坐標為-2，可確定點C的坐標，繼而求出OF的長度．

解答：解：（1）根據圖形可得：當點P運動到點A時，△POC的面積為8，
∵OA=

42+22

=2

5

，
∴P移動的路徑的長l=2

5

，
∴m的值為2

5

．
（2）∵圖1中四邊形ODEF是等腰梯形，點D的坐標為D（m，8），
∴y_E=y_D=8，此時圖2中點O運動到與點B重合，
∵點B在x軸上，
∴S_△POC=

1

2

OB×2=8，
解得：OB=8，
即點B的坐標為（8，0），
∵點P在AB上運動時，△POC的面積不變，
∴可得OC∥AB，
設直線AB的解析式為y=kx+b，
將A、B的坐標代入可得：

2k+b=3 8k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b=4

，
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+4，
∴直線OC的解析式為y=-

1

2

x，
∵點C的縱坐標為-2，
∴點C的橫坐標為4，
∴點C的坐標為（4，-2），
∴OF=l=OA+AB+BC=2

5

+2

5

+2

5

=6

5

．

點評：本題考查了動點問題的函數圖象，涉及了等腰梯形的性質、平行線的性質及一次函數的知識，綜合性較強，解答本題關鍵是將兩圖中的點對應起來，此題難度較大．