Question

【題目】.在△ABC中，，，直線經過點，且于， 于.

(1)當直線繞點旋轉到圖1的位置時， 的數量關系是_________________ ，并請給出證明過程.

(2)當直線繞點旋轉到圖2的位置時， 的數量關系是_________________ （直接寫出結果）。

Answer 1

【答案】（1）DE=AD+BE，理由見解析；（2）DE=AD﹣BE

【解析】試題分析：（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據AAS可證明△ADC≌△CEB（AAS），依據全等三角形的性質可得到AD=CE，CD=BE，然后由ED=DC+CE可得到問題的答案；

（2）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，最后由CE=CD+DE可得到問題的答案．

試題解析：證明：（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°．∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．在△ADC和△CEB中∵∠CDA=∠BEC，∠DAC=∠ECB，AC=BC，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴AD+BE=DE．

（2）DE=AD﹣BE．理由：

∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，∵∠ACD=∠CBE，∠ADC=∠BEC，AC=BC，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC﹣CD=AD﹣BE．