Question

求出分母是111的最簡真分數的和．

Answer 1

分析：根據111的因數的3和37，則不是最簡分數，且分母是111的真分數，分子一定是3或37的整數倍，求出分子是3的倍數的，分母是111的所有真分數的和，分子是37的倍數的，分母是111的所有真分數的和以及分母是111的所有真分數的和即可求解．

解答：解：∵111=3×37
分子是3的倍數的，分母是111的所有真分數的和是：

3

111

+

2×3

111

+…+

36×3

111

=3×（

1+2+…+36

111

）=18；
分子是37的倍數的，分母是111的所有真分數的和是：

37

111

+

37×2

111

=

111

111

=1
分母是111的所有真分數的和是：

1

111

+

2

111

+…+

110

111

=

1 2 ×111×110

111

=55．
則分母是111的最簡真分數的和是：55-18-1=36．

點評：本題主要考查了容斥原理，正確理解不是最簡分數，且分母是111的真分數，分子一定是3或37的整數倍是解決本題的關鍵．