Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點在軸上，在軸上，把矩形沿對角線所在的直線對折，點恰好落在反比例函數的圖象上點處，與軸交于點，延長交軸于點，點剛好是的中點.已知的坐標為．

（1）求反比例函數的函數表達式；

（2）若是反比例函數圖象上的一點，點在軸上，若以為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標_________.

Answer 1

【答案】（1）；（2），，（，0）．

【解析】

(1)證得BD是CF的垂直平分線，求得，作DG⊥BF于G，求得點D的坐標為 ，從而求得反比例函數的解析式；

(2)分3種情形，分別畫出圖形即可解決問題．

(1) ∵四邊形ABOC是矩形，

∴AB=OC，AC=OB，，

根據對折的性質知，，

∴，，AB=DB，

又∵D是CF的中點，

∴BD是CF的垂直平分線，

∴BC=BF，，

∴，

∵，

∴，

∵點B的坐標為 ，

∴，

在中，，，，

∴，

過D作DG⊥BF于G，如圖，

在中，，，，

∴，，

∴，

∴點D的坐標為 ，

代入反比例函數的解析式得：，

∴反比例函數的解析式；

(2) 如圖①、②中，作EQ∥x軸交反比例函數的圖象于點Q，

在中， ，，

∴，

∴點E的坐標為 ，

點Q縱坐標與點E縱坐標都是，代入反比例函數的解析式得：

，

解得：，

∴點Q的坐標為 ，

∴，

∵四點構成平行四邊形，

∴

∴點的坐標分別為 ， ；

如圖③中，構成平行四邊形，作QM∥y軸交軸于點M，

∵四邊形為平行四邊形，

∴， ，

∴，

∴，，

∴點的坐標為 ，

∴

∴，

∴點的坐標為 ，

綜上，符合條件點的坐標有： ， ，；