Question

如圖1，在平面直角坐標系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線經過等腰Rt△AOB的直角頂點A，交y軸于C點．
(1) 求點A坐標； 
(2)若點P為x軸上一動點．點Q的坐標是（，），△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形．求出的值并寫出點Q的坐標．
（3）在(2)的條件下，若D是坐標平面內任意一點，使點A、P、Q、D剛好能構成平行四邊形，請直接寫出符合條件的點D的坐標
．

Answer 1

（1）A（2，2）；（2）a=4，Q（4，1）（3）D點的坐標為（﹣1，1），（5，3），（3，﹣2）．

試題分析：（1）過點A分別作AM⊥y軸于M點，AN⊥x軸于N點，根據直角三角形的性質可設點A的坐標為（a，a），因為點A在直線y=2x﹣2上，即把A點坐標代入解析式即可算出a的值，進而得到A點坐標．
（2）連接AQ，過A點作AP⊥AQ交x軸于P點．由ASA易證△AOP≌△ABQ，得出∠AOP=∠ABQ=45，從而求得QB⊥OB，根據B點、Q點的縱坐標相等得出結果．
（3）因為點D與A，P，Q三點構成平行四邊形，所以需分情況討論：因為A（2，2），P（﹣1，0），Q（4，1），利用平行四邊形的對邊分別平行且相等，
若QD∥BA，則符合條件的點D的坐標分別是D₁（5，3），D₂（3，﹣2）；若PD∥QA，則符合條件的點D的坐標分別是D₂（3，﹣2），D₃（﹣1，1）．
試題解析：（1）過點A分別作AM⊥y軸于M點，AN⊥x軸于N點，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN．
設點A的坐標為（a，a），
∵點A在直線y=2x﹣2上，
∴a=2a﹣2，
解得a=2，
∴A（2，2）

（2）連接AQ，過A點作AP⊥AQ交x軸于P點，
則△APQ為等腰直角三角形．
∵∠OAB=∠PAQ=90°
∴∠OAB﹣∠PAB=∠PAQ﹣∠PAB，
∴∠OAP=∠BAQ，
在△APO與△ABQ中

∴△APO≌△ABQ（SAS），
∴∠AOP=∠ABO=45°
∴QB⊥OB
∵A（2，2）
∴B（4，0）
∵Q點的坐標是（a，），
∴a=4，
∴Q（4，1），

（3）在（2）的條件下，若D是坐標平面內任意一點，使點A、P、Q、D剛好能構成平行四邊形，則D點的坐標為（﹣1，1），（5，3），（3，﹣2）．