Question

【題目】如圖1，直線l：y=x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B（0，﹣1），拋物線y= x2+bx+c經過點B，與直線l的另一個交點為C（4，n）．

（1）求n的值和拋物線的解析式；

（2）點D在拋物線上，DE∥y軸交直線l于點E，點F在直線l上，且四邊形DFEG為矩形（如圖2），設點D的橫坐標為t（0＜t＜4），矩形DFEG的周長為p，求p與t的函數關系式以及p的最大值；

（3）將△AOB繞平面內某點M旋轉90°或180°，得到△A1O1B1，點A、O、B的對應點分別是點A1、O1、B1．若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點為“落點”，請直接寫出“落點”的個數和旋轉180°時點A1的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）n=2；y=x2﹣x﹣1；（2）p=；當t=2時，p有最大值；（3）或；

【解析】

（1）把點B的坐標代入直線解析式求出m的值，再把點C的坐標代入直線求解即可得到n的值，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）令y=0求出點A的坐標，從而得到OA、OB的長度，利用勾股定理列式求出AB的長，然后根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根據矩形的周長公式表示出p，利用直線和拋物線的解析式表示DE的長，整理即可得到P與t的關系式，再利用二次函數的最值問題解答；
（3）根據逆時針旋轉角為90°可得A1O1∥y軸時，B1O1∥x軸，旋轉角是180°判斷出A1O1∥x軸時，B1A1∥AB，根據圖3、圖4兩種情形即可解決．

解：

（1）∵直線l：y=x+m經過點B（0，﹣1），

∴m=﹣1，

∴直線l的解析式為y=x﹣1，

∵直線l：y=x﹣1經過點C（4，n），

∴n=×4﹣1=2，

∵拋物線y=x2+bx+c經過點C（4，2）和點B（0，﹣1），

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣1；

（2）令y=0，則x﹣1=0，

解得x=，

∴點A的坐標為（，0），

∴OA=，

在Rt△OAB中，OB=1，

∴AB===，

∵DE∥y軸，

∴∠ABO=∠DEF，

在矩形DFEG中，EF=DEcos∠DEF=DE=DE，

DF=DEsin∠DEF=DE=DE，

∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，

∵點D的橫坐標為t（0＜t＜4），

∴D（t， t2﹣t﹣1），E（t， t﹣1），

∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，

∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，

∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，

∴當t=2時，p有最大值．

（3）“落點”的個數有6個，如圖1，圖2中各有2個，圖3，圖4各有一個所示．

如圖3中，設A1的橫坐標為m，則O1的橫坐標為m+，

∴m2﹣m﹣1=（m+）2﹣（m+）﹣1，

解得m=，

如圖4中，設A1的橫坐標為m，則B1的橫坐標為m+，B1的縱坐標比例A1的縱坐標大1，

∴m2﹣m﹣1+1=（m+）2﹣（m+）﹣1，

解得m=，

∴旋轉180°時點A1的橫坐標為或