Question

【題目】如圖，在△ABC中，點M、N是∠ABC與∠ACB三等分線的交點，連接MN

（1）求證：MN平分∠BMC．

（2）若∠A＝60°，求∠BMN的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）50°．

【解析】

（1）過點N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得NE=NG=NF，再根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出MN平分∠BMC；

（2）根據三角形內角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根據角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度數，然后利用三角形內角和定理求出∠BMC的度數，從而得解．

（1）如圖，過點N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F．

∵點M、N是∠ABC與∠ACB三等分線的交點，

∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB．

又∵NG⊥BC，NE⊥BM，NF⊥CM，

∴NE=NG，NF=NG，

∴NE=NF，

∴MN平分∠BMC；

（2）∵MN平分∠BMC，

∴∠BMN∠BMC．

∵∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°．

∵點M、N是∠ABC與∠ACB三等分線的交點，

∴∠MBC+∠MCB（∠ABC+∠ACB）120°=80°，

∴在△BMC中，∠BMC=180°﹣（∠MBC+∠MCB）=180°﹣80°=100°，

∴∠BMN100°=50°．