Question

【題目】探索研究：已知：△ABC和△CDE都是等邊三角形．

（1）如圖1，若點A、C、E在一條直線上時，我們可以得到結論：線段AD與BE的數量關系為：　 　，線段AD與BE所成的銳角度數為　 　°；

（2）如圖2，當點A、C、E不在一條直線上時，請證明（1）中的結論仍然成立；

靈活運用：

如圖3，某廣場是一個四邊形區域ABCD，現測得：AB＝60m，BC＝80m，且∠ABC＝30°，∠DAC＝∠DCA＝60°，試求水池兩旁B、D兩點之間的距離．

Answer 1

【答案】（1）AD=BE，60；（2）證明見解析；（3）水池兩旁B、D兩點之間的距離為100m．

【解析】

試題（1）根據等邊三角形的性質可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACD=∠BCE，再利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=BE，根據全等三角形對應角相等可得∠ADC=∠BEC，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠DPE=∠DCE；（2）證明△ACD≌△BCE（SAS），得到AD=BE，∠DAC=∠EBC，根據∠BPA=180°-∠ABP-∠BAP=180°-∠ABC-∠BAC，即可解答．（3）如圖3，以AB為邊在△ABC外側作等邊△ABE，連接CE，由（2）可得：BD=CE，證明△EBC是直角三角形，利用勾股定理求出CE的長度，即可解答．

試題解析：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，

由三角形的外角性質，∠DPE=∠PEA+∠DAC，∠DCE=∠ADC+∠DAC，

∴∠DPE=∠DCE=60°；

故答案為：相等，60；

（2）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，

∴∠BPA=180°﹣∠ABP﹣∠BAP=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=60°

（3）如圖3，以AB為邊在△ABC外側作等邊△ABE，連接CE．

由（2）可得：BD=CE

∴∠EBC=60°+30°=90°，

∴△EBC是直角三角形

∵EB=60m BC=80m，

∴CE==100（m）．

∴水池兩旁B、D兩點之間的距離為100m．