Question

【題目】已知，如圖1在銳角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，BE與AD交于點F．

（1）若BF=5，DC=3，求AB的長；
（2）在圖1上過點F作BE的垂線，過點A作AB的垂線，鏈條垂線交于點G，連接BG，得如圖2．
①求證：∠BGF=45°；
②求證：AB=AG+ AF．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，

∵∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，△ADB是等腰直角三角形，

∴AD=BD，

∵BE⊥AC，

∴∠AEF=∠BDF=90°，

∵∠AFE=∠BFD，

∴∠EAF=∠FBD，∵∠BDF=∠ADC=90°，

∴△BDF≌△ADC，

∴DF=DC=3，

在Rt△BDF中，BD= =4，

∴AB= BD=4

（2）①證明：如圖2中，設AB交GF于O．

∵∠GAO=∠OFB=90°，∠AOG=∠BOF，

∴△AOG≌△FOB，

∴ = ，

∴ = ，∵∠BOG=∠AOF，

∴△BOG∽△FOA，

∴∠BGO=∠OAF=45°，

∴∠BGF=45°．

②證明：如圖2中，在AB上截取AM=AG，則∠MGA=∠BGF=45°，

∴∠BCM=∠FCA，

∵BC= FG，GM= AC，

∴ = = ，

∴△BGM∽△FGA，

∴ = = ，

∴BM= AF，

∴AB=AM+BM=AG+ AF．

【解析】①根據題意得到△ADB是等腰直角三角形，得到AD=BD，得到△BDF≌△ADC，得到DF=DC=3，根據勾股定理求出BD =4，得到AB= BD=4 ；②在AB上截取AM=AG，則∠MGA=∠BGF=45°，得到∠BCM=∠FCA，得出△BGM∽△FGA，求出BM= AF，求出AB=AM+BM=AG+ AF．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．