Question

已知a、c為實數，直線y₁=（a+1）x-1，拋物線y₂=x²+ax+c．
（Ⅰ）在直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與x軸的負半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，若c=2，tan∠ABO=

1

2

，求拋物線的解析式；
（Ⅱ）若c＞0，證明在實數范圍內，對于x的同一個值，直線與拋物線對應的y₁＜y₂均成立；
（Ⅲ）若a=-1，當-1＜x＜4時，拋物線與x軸有公共點，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據tan∠ABO=

AO

BO

=

1

2

的值代入可得拋物線的解析式；
（Ⅱ）根據y₂-y₁=x²+ax+c-[（a+1）x-1]，直接化簡配方即可得出答案；
（Ⅲ）把a代入解析式可得△=1-4c≥0，等于0時可直接求得c的值；求出y的相應的值后可得c的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線與x軸的負半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，若c=2，tan∠ABO=

1

2

，
∴tan∠ABO=

AO

BO

=

1

2

，
∴A（-1，0），
代入解析式y₂=x²+ax+c，
∴0=1-a+2，
∴a=3，
∴y₂=x²+3x+2；
（Ⅱ）∵c＞0，
∴y₂-y₁=x²+ax+c-[（a+1）x-1]，
=（x-

1

2

）²+

3

4

+c，
y₂-y₁＞0，
∴在實數范圍內，對于x的同一個值，直線與拋物線對應的y₁＜y₂均成立；

（Ⅲ）當a=-1時，拋物線為y₂=x²-x+c，且與x軸有公共點．
對于方程x²-x+c=0，判別式△=1-4c≥0，有c≤

1

4

．（3分）
①當 c=

1

4

時，由方程x²-x+

1

4

=0，解得x₁=x₂=

1

2

．
此時拋物線與x軸只有一個公共點（

1

2

，0）；（4分）
②當 c＜

1

4

時，x₁=-1時，y₁=2+c；
x₂=4時，y₂=12+c．
由已知-1＜x＜4時，該拋物線與x軸有公共點，考慮其對稱軸為 x=

1

2

，
應有 即

2+c＜0 12+c＞0

解得-12＜c≤-2．
綜上，c=

1

4

或-12＜c≤-2．（6分）

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及圖象與坐標軸有交點的條件，根據不等式的性質以及判別式得出c的取值范圍是解決問題的關鍵．