Question

【題目】在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝CD＝4，BC＝5，∠B的平分線交DC于點(diǎn)E，交AD的延長線于點(diǎn)F．

（1）如圖（1），若∠C的平分線交BE于點(diǎn)G，寫出圖中所有的相似三角形（不必證明）；

（2）在（1）的條件下求BG的長；

（3）若點(diǎn)P為BE上動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，BP為半徑的⊙P與線段BC交于點(diǎn)Q（如圖（2）），請直接寫出當(dāng)BP取什么范圍內(nèi)值時(shí)，①點(diǎn)A在⊙P內(nèi)；②點(diǎn)A在⊙P內(nèi)而點(diǎn)E在⊙P外．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BG＝ ；（3）①當(dāng)＜BP≤時(shí)，點(diǎn)A在⊙P內(nèi)；②當(dāng)＜BP＜時(shí)，點(diǎn)A在⊙P內(nèi)而點(diǎn)E在⊙P外．

【解析】

（1）利用平行線的性質(zhì)和角平分線定義找到相等的角，進(jìn)一步根據(jù)兩角對應(yīng)相等證明三角形相似；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義，得∠ABE=∠AFB，則AB=AF=4，則DF=1；根據(jù)平行線分線段成比例定理求得DE和CE的長；根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和角平分線定義，得BG=CG；設(shè)BG=CG=x，根據(jù)△FDE∽△CGE，求得BG的長；
（3）根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系進(jìn)行分析．

解：（1）△ABF∽△GBC，△FDE∽△CGE∽△BCE．理由如下：

∵AD∥BC，AB=CD,

∴∠AFB＝∠EBC，∠ABC＝∠DCB，

∵BF平分∠ABC, CG平分∠BCD,

∴∠ABF＝∠BCG=∠ABC＝∠DCB，

∴△ABF∽△GBC；

∵DF∥BC，

∴△FDE∽△BCE；

∵∠AFB＝∠DCG=∠ABC＝∠DCB，∠DEF＝∠CEG，

∴△FDE∽△CGE.

∴△FDE∽△CGE∽△BCE．

（2）∵BE平分∠B，

∴∠ABE＝∠EBC，

∵AD∥BC，

∴∠AFB＝∠EBC，

∴∠ABE＝∠AFB，

∴AB＝AF．

∴AF＝4，DF＝1．

∵AD∥BC，

∴DF：BC＝DE：EC，

∴DE＝，CE＝．

∵AD∥BC，AB＝CD，

∴∠BCD＝∠ABC．

∵CG平分∠BCD，BE平分∠ABC，

∴∠CBG＝∠BCG，

∴BG＝CG．

設(shè)BG＝CG＝x，則由△FDE∽△CGE，得

DF：CG＝DE：GE，

∴GE＝x．

又由△CGE∽△BCE，得

EC2＝EGEB，

即＝x（x+x），

∴x＝，

即BG＝．

（3）①連接AP，當(dāng)BP＝AP時(shí)，點(diǎn)A在圓P上，此時(shí)△ABP∽△ABF，求得BP＝，

即BP＞AP時(shí)，點(diǎn)A在⊙P內(nèi)．

∴當(dāng)＜BP≤時(shí)，點(diǎn)A在⊙P內(nèi)．

②根據(jù)①求得BE＝，

∴BP＜BE，即BP＜時(shí)，點(diǎn)A在⊙P內(nèi)而點(diǎn)E在⊙P外

∴當(dāng)＜BP＜時(shí)，點(diǎn)A在⊙P內(nèi)而點(diǎn)E在⊙P外．