Question

【題目】如圖1，點A坐標為（2，0），以OA為邊在第一象限內作等邊△OAB，點C為x軸上一動點，且在點A右側，連接BC，以BC為邊在第一象限內作等邊△BCD，連接AD交BC于E．

（1）①直接回答：△OBC與△ABD全等嗎？

②試說明：無論點C如何移動，AD始終與OB平行；

（2）當點C運動到使AC2=AEAD時，如圖2，經過O、B、C三點的拋物線為y1．試問：y1上是否存在動點P，使△BEP為直角三角形且BE為直角邊？若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由；

（3）在（2）的條件下，將y1沿x軸翻折得y2，設y1與y2組成的圖形為M，函數的圖象l與M有公共點．試寫出：l與M的公共點為3個時，m的取值．

Answer 1

【答案】（1）①△OBC與△ABD全等；②證明見解析；（2）P（3，）或（﹣2，）；（3）﹣≤m＜0．

【解析】

試題分析：（1）①利用等邊三角形的性質證明△OBC≌△ABD；

②證明∠OBA=∠BAD=60°，可得OB∥AD；

（2）首先證明DE⊥BC，再求直線AE與拋物線的交點就是點P，所以分別求直線AE和拋物線y1的解析式組成方程組，求解即可；

（3）先畫出如圖3，根據圖形畫出直線與圖形M有個公共點時，兩個邊界的直線，上方到，將向下平移即可滿足l與圖形M有3個公共點，一直到直線l與y2相切為止，主要計算相切時，列方程組，確定△≥0時，m的值即可．

試題解析：（1）①△OBC與△ABD全等，理由是：如圖1，∵△OAB和△BCD是等邊三角形，∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD，∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，∴△OBC≌△ABD（SAS）；

②∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD=∠BOC=60°，∴∠OBA=∠BAD，∴OB∥AD，∴無論點C如何移動，AD始終與OB平行；

（2）如圖2，∵AC2=AEAD，∴，∵∠EAC=∠DAC，∴△AEC∽△ACD，∴∠ECA=∠ADC，∵∠BAD=∠BAO=60°，∴∠DAC=60°，∵∠BED=∠AEC，∴∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠ADC，∵BD=CD，∴DE⊥BC，Rt△ABE中，∠BAE=60°，∴∠ABE=30°，∴AE=AB=×2=1，Rt△AEC中，∠EAC=60°，∴∠ECA=30°，∴AC=2AE=2，∴C（4，0），等邊△OAB中，過B作BH⊥x軸于H，∴BH= =，∴B（1，），設y1的解析式為：y=ax（x﹣4），把B（1，）代入得： =a（1﹣4），a=﹣，∴設y1的解析式為：y1=﹣x（x﹣4）=，過E作EG⊥x軸于G，Rt△AGE中，AE=1，∴AG=AE=，EG==，∴E（，），設直線AE的解析式為：y=kx+b，把A（2，0）和E（，）代入得：，解得：，∴直線AE的解析式為：，則，解得：，，∴P（3，）或（﹣2，）；

（3）如圖3，y1==，頂點（2，），∴拋物線y2的頂點為（2，﹣），∴y2=，當m=0時，與圖形M兩公共點，當y2與l相切時，即有一個公共點，l與圖形M有3個公共點，則：，，x2﹣7x﹣3m=0，△=（﹣7）2﹣4×1×（﹣3m）≥0，m≥﹣，∴當l與M的公共點為3個時，m的取值是：﹣≤m＜0．