Question

從一個等邊三角形（如圖①）開始，把它的各邊分成相等的三段，再在各邊中間一段上向外畫出一個小等邊三角形，形成六角星圖形（如圖②）；然后在六角星各邊上，用同樣的方法向外畫出更小的等邊三角形，形成一個有18個尖角的圖形（如圖③）；如果在其各邊上，再用同樣的方法向外畫出更小的等邊三角形（如圖④）．如此繼續下去，圖形的輪廓就能形成分支越來越多的曲線，這就是瑞典數學家科赫將雪花理想化得到的科赫雪花曲線．

如果設原等邊三角形邊長為a，不妨把每一次的作圖變化過程叫做“生長”，例如，第1次生長后，得圖②，每個小等邊三角形的邊長為，所形成的圖形的周長為4a．
請填寫下表：（用含a的代數式表示）

	第1次 生長后	第2次 生長后	第3次 生長后	…	第n次 生長后
每個小等邊 三角形的邊長		________	________	…	________
所形成的 圖形的周長	4a	________	________	…	________

Answer 1

a        a    3a（）²    3a（）³    3a（）ⁿ
分析：找到相鄰兩個圖形的周長之間的關系：后一個圖形在前一個的基礎上多了它的，以此類推，即可得到第4次變換后得到的圖形的周長．邊長變為原來的．
解答：仔細觀察規律發現：每生長一次，邊長都變為原來的，
即：第一次生長后，邊長變為：a；
第二次生長后，邊長變為×a=a；
第三次生長后，邊長變為：××=a
…
第三次生長后，邊長變為：a；
解：第一次生長后，周長：3a×=4a
第二次生長后，周長：3a××，
第三次生長后，周長：3a×××，
…
第n次生長后，周長：3a（）ⁿ．
故答案為：第1次
生長后第2次
生長后第3次
生長后…第n次
生長后每個小等邊
三角形的邊長…a所形成的
圖形的周長4a3a3a（）³…3a（）ⁿ
點評：本題主要考查了圖形的變化類問題，找到后一個圖形的周長是前一個圖形周長的，是解答本題的關鍵．