Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）點F是拋物線上的動點，當∠FBA=∠BDE時，求點F的坐標；

（3）若點P是x軸上方拋物線上的動點，以PB為邊作正方形PBFG，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨著改變，當頂點F或G恰好落在y軸上時，請直接寫出點P的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）D（2，8）；（2）（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）點P的橫坐標為1+或4或0．

【解析】

（1）由B、C的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式，再求其頂點D即可；
（2）過F作FG⊥x軸于點G，可設出F點坐標，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性質可得到關于F點坐標的方程，可求得F點的坐標；
（3）設P（m，m2+2m+6），有四種情況：
①如圖2，當G在y軸上時，過P作PQ⊥y軸于Q，作PM⊥x軸于M，
證明△PQG≌△PMB，則PQ=PM，列方程可得m的值；
②當F在y軸上時，如圖3，過P作PM⊥x軸于M，同理得結論；
③當F在y軸上時，如圖4，此時P與C重合；
④當G在y軸上時，如圖5，過P作PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，列方程可得m的值．

解：（1）把點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6）代入拋物線y=﹣x2+bx+c得：

，

解得： ，

∴y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，

∴D（2，8）；

（2）如圖1，過F作FG⊥x軸于點G，

設F（x，﹣x2+2x+6），則FG=|﹣x2+2x+6|，

∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，

∴△FBG∽△BDE，

∴ ，

∵B（6，0），D（2，8），

∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，

∴BG=6﹣x，

∴ ＝ ＝ ，

當點F在x軸上方時，有6﹣x=2（﹣+2x+6），

解得x=﹣1或x=6（舍去），

此時F點的坐標為（﹣1，）；

當點F在x軸下方時，有6﹣x=2（－2x－6），

解得x=﹣3或x=6（舍去），

此時F點的坐標為（﹣3，﹣）；

綜上可知F點的坐標為（﹣1，）或（﹣3，﹣ ）；

（3）設P（m，），

有三種情況：

①如圖2，當G在y軸上時，過P作PQ⊥y軸于Q，作PM⊥x軸于M，

∵四邊形PBFG是正方形，

∴PG=PB，

∵∠PQG=∠PMB=90°，∠QPG=∠MPB，

∴△PQG≌△PMB，

∴PQ=PM，

即m=﹣ m2+2m+6，

解得：m1=1+，m2=1﹣（舍），

∴P的橫坐標為1+，

②當F在y軸上時，如圖3，過P作PM⊥x軸于M，

同理得：△PMB≌△BOF，

∴OB=PM=6，

即﹣m2+2m+6=6，

m1=0（舍），m2=4，

∴P的橫坐標為4，

③當F在y軸上時，如圖4，此時P與C重合，

此時P的橫坐標為0，

綜上所述，點P的橫坐標為1+ 或4或0．