Question

如圖，在矩形ABCD中，已知邊AB、BC的長恰為關于x的一元二次方程x²-（m-2）x+3m=0的兩根．動點P、Q分別從點B、C出發，其中，點P以每秒a個單位的速度，沿B→C的路線向點C運動；點Q以每秒3個單位的速度，沿C→D的路線向點D運動．若P、Q兩點同時出發，運動時間為t（s）（t＞0），且當t=2時，P、Q兩點恰好同時到達目的地．
（1）求m、a的值；
（2）是否存在這樣的t，使得△APQ為直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．
（3）若在動點P、Q從起點出發的同時，另有M、N兩點同時從點A出發，其中，點M以每秒2個單位的速度，沿A→D的路線向點D運動；點N以每秒1個單位的速度，沿A→B的路線向點B運動．問：是否存在這樣的t，使得四邊形PQMN為平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．若將“平行四邊形”改為“梯形”，結果又如何？

Answer 1

分析：（1）由點Q以3cm/s的速度，沿C→D的路線向點D運動，運動時間為t=2，可得AB=CD=6，代入x²-（m-2）x+3m=0求解即可；
（2）要使△APQ的外心在△APQ的某一邊上，則△APQ為直角三角形；顯然∠PAQ不可能為直角．分別從∠APQ=90°與∠AQP=90°分析，易得相似三角形，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得t的值．
（3）采用逆向證明法．當若MN∥PQ時，由相似三角形△AMN∽△CPQ的對應邊成比例解得t=

4

5

；若MQ∥NP時，由相似三角形△DMQ∽△BPN的對應邊成比例解得7t²-22t+24=0，然后解方程知，MQ與NP不可能相互平行，即不存在這樣的t，使得四邊形PQMN為平行四邊形．

解答：解：（1）由已知得CD=6，
∴AB=6．把x=6代入方程x²-（m-2）x+3m=0得m=16．（1分）
把m=16代入原方程，解得x₁=6，x₂=8，
∴BC=8．（2分）
∴點P的運動速度a=8÷2=4（cm/s）．（3分）

（2）存在這樣的t，使得△APQ為直角三角形．理由如下：
顯然∠PAQ不可能為直角．
若∠APQ=90°，則△ABP∽△PCQ，
∴

AB

BP

=

PC

CQ

．即

6

4t

=

8-4t

3t

，解得t=

7

8

．
若∠AQP=90°，同理求得t=2或t=

32

9

．
經檢驗，t=

32

9

不合題意，舍去，
∴t=2．
綜上所述，當t=

7

8

和t=2時△APQ為直角三角形；


（3）若MN∥PQ，則可得△AMN∽△CPQ，
∴

AM

AN

=

CP

CQ

，即

2t

t

=

8-4t

3t

，解得t=

4

5

．（8分）
若MQ∥NP，則可得△DMQ∽△BPN，
∴

DM

DQ

=

BP

BN

，即

8-2t

6-3t

=

4t

6-t

，即7t²-22t+24=0．
由于△＜0，所以這個方程無實根．（9分），
∴MQ與NP不可能相互平行．
∴不存在這樣的t，使得四邊形PQMN為平行四邊形．（10分）
當t=

4

5

時，四邊形PQMN為梯形．（11分）

點評：此題考查了一元二次方程的應用，以及相似三角形的判定與性質和圓的外心的性質．解此題的關鍵要抓住不變量，還要注意利用分類討論的思想．解題時還要注意數形結合思想的應用．