Question

【題目】已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．

（1）特殊情形：如圖1，當DE∥BC時，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）

（2）發現探究：若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°）到圖2位置，則（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

（3）拓展運用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內一點，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）135°.

【解析】

試題分析：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠ADE=∠AED，∴AD=EA，∴BD=CE；（2）根據旋轉可得△DAB≌△EAC，從而DB=CE；（3）將△CPB繞點C旋轉90°得△CEA，連接PE，可得PE=，根據PE2+AE2=AP2，推出△PEA是直角三角形.進而可求得∠BPC的度數.

試題解析：（1）=；（2）成立，原因如下：由旋轉可得AD=AE，∠DAB=∠CAE，又∵AB=AC，∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE.（3）將△CPB繞點C旋轉90°得△CEA，連接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，

∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，，在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形.∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA，

∴∠BPC=∠CEA=135°．