Question

已知，如圖1，在平面直角坐標系內，直線l₁：y=-x+4與坐標軸分別相交于點A、B，與直線l₂：相交于點C．
（1）求點C的坐標；
（2）如圖1，平行于y軸的直線x=1交直線l₁于點E，交直線l₂于點D，平行于y軸的直x=a交直線l₁于點M，交直線l₂于點N，若MN=2ED，求a的值；
（3）如圖2，點P是第四象限內一點，且∠BPO=135°，連接AP，探究AP與BP之間的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）聯立兩直線解析式得：，
解得：，
則C坐標為（3，1）；
（2）如圖1所示，將x=1代入y=-x+4得：y=-1+4=3；代入y=x得：y=，
∴DE=OE-OD=3-=，
∴MN=2DE=，
將x=a代入y=-x+4得：y=-a+4；代入y=x得：y=a，
∴MN=|-a+4-a|=，
解得：a=-1或a=7，
則a的值為-1或7；
（3）過O作OQ⊥OP，交BP的延長線于點Q，可得∠POQ=90°，
∵∠BPO=135°，
∴∠OPQ=45°，
∴∠Q=∠OPQ=45°，
∴△POQ為等腰直角三角形，
∴OP=OQ，
∵∠AOB=∠POQ=90°，
∴∠AOB+∠BOP=∠POQ+∠POB，即∠AOP=∠BOQ，
∵OA=OB=4，
∴=，
∴△AOP∽△BOQ，
∴∠APO=∠BQO=45°，
∴∠APB=∠BPO-∠APO=90°，
則AP⊥BP．
分析：（1）聯立兩直線解析式得到方程組，求出方程組的解即可確定出C的坐標；
（2）將x=1代入兩直線方程求出對應y的值，確定出D與E的縱坐標，即OD與OE的長，由OE-OD求出DE的長，根據MN=2DE，求出MN的長，將x=a代入兩直線方程，求出M與N對應的橫坐標，相減的絕對值等于MN的長列出關于a的方程，求出方程的解即可求出a的值；
（3）AP⊥BP，理由為：過O作OQ⊥OP，交BP的延長線于點Q，由∠BPO為135°，得到∠OPQ為45°，又∠POQ為直角，可得出三角形OPQ為等腰直角三角形，再利用兩對對應邊成比例且夾角相等的兩三角形相似得到三角形AOP與三角形BOQ相似，由相似三角形的對應角相等得到∠APO=∠BQO=45°，由∠BPO-∠APO得到∠APB為直角，即AP⊥BP．
點評：此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，兩直線的交點，一次函數與坐標軸的交點，以及坐標與圖形性質，是一道中檔題．