Question

閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧，天下無敵．這是武俠小說中常見的描述，其意是指兩人合在一起，取長補短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”如：(2+

3

)(2-

3

)=1，2+

3

與2-

3

的積不含有根號，我們就說這兩個式子互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式．于是二次根式

2+ 3

2- 3

可以這樣解：

2+ 3

2- 3

=

(2+ 3 )(2+ 3 )

(2- 3 )(2- 3 )

=

7+4 3

1

=7+4

3

，像這樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．
解決問題：①4+

7

的有理化因式是

4-

7

②計算：

1

2+ 3

+

27

-6

1 3

③計算：

1

1+ 2

+

1

2 + 3

+

1

3 + 4

+…

1

1999 + 2000

．

Answer 1

分析：①根據有理化因式的定義即可的話答案；
②利用分母有理化以及二次根式的化簡進而得出答案即可；
③利用已知將原式化簡為

2

-1+

3

-

2

+

4

-

3

+…+

2000

-

1999

進而求出即可．

解答：解：①∵（4-

7

）（4+

7

）=16-7=9，
∴4+

7

的有理化因式是4-

7

；
故答案為：4-

7

；

②

1

2+ 3

+

27

-6

1 3

，
=

2- 3

(2+ 3 )(2- 3 )

+3

3

-6×

3

3

=2-

3

+3

3

-2

3

=2；

③（

1

1+ 2

+

1

2 + 3

+

1

3 + 4

+…+

1

1999 + 2000

=

2

-1+

3

-

2

+

4

-

3

+…+

2000

-

1999

=-1+

2000

=-1+20

5

．

點評：此題主要考查了分母有理化的應用，根據已知得出式子變化規律是解題關鍵．