Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點M，BE⊥CD于點E．

（1）求證：∠BME=∠MAB；

（2）求證：BM2=BEAB；

（3）若BE=，sin∠BAM=，求線段AM的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）8.

【解析】試題分析：（1）由切線的性質得出∠BME+∠OMB=90°，再由直徑得出∠AMB=90°，利用同角的余角相等判斷出結論；

（2）由（1）得出的結論和直角，判斷出△BME∽△BAM，即可得出結論，

（3）先在Rt△BEM中，用三角函數求出BM，再在Rt△ABM中，用三角函數和勾股定理計算即可．

試題解析：（1）如圖，連接OM，

∵直線CD切⊙O于點M，

∴∠OMD=90°，

∴∠BME+∠OMB=90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AMB=90°．

∴∠AMO+∠OMB=90°，

∴∠BME=∠AMO，

∵OA=OM，

∴∠MAB=∠AMO，

∴∠BME=∠MAB；

（2）由（1）有，∠BME=∠MAB，

∵BE⊥CD，

∴∠BEM=∠AMB=90°，

∴△BME∽△BAM，

∴

∴BM2=BEAB；

（3）由（1）有，∠BME=∠MAB，

∵sin∠BAM=，

∴sin∠BME=，

在Rt△BEM中，BE=，

∴sin∠BME==，

∴BM=6，

在Rt△ABM中，sin∠BAM=，

∴sin∠BAM==，

∴AB=BM=10，據勾股定理得，AM=8．