Question

7．如圖1，正方形ABCD的邊AD在y軸上，拋物線y=a（x-2）²-1經過點A、B，與x相交于點E、F，且其頂點M在CD上．
（1）請直接寫出點A的坐標（0，3），并寫出a的值2；
（2）若點P是拋物線上一動點（點P不與點A、點B重合），過點P作y軸的平行線l與直線AB交于點G，與直線BD交于點H，如圖2．
①當線段PH=2GH時，求點P的坐標；
②當點P在直線BD下方時，點K在直線BD上，且滿足△KPH∽△AEF，求△KPH周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線的對稱性、拋物線的頂點坐標以及正方形四邊都相等的性質解答；
（2）①根據待定系數法可得直線BD的解析式，設點P的坐標為（x，x²-4x+3），則點H（x，x-1），點G（x，3）．分三種情況：i）當x≥1且x≠4時；ii）當0＜x＜1時；iii）當x＜0時；三種情況討論可得點P的坐標；
②根據相似三角形的性質可得S_△KPH=$\frac{3}{4}$PH²=$\frac{3}{4}$（-x²+5x-4）²，再根據二次函數的增減性可得△KPH面積的最大值．

解答 解：（1）如圖1，∵拋物線的解析式為y=a（x-2）²-1，頂點是M，
∴M（2，-1）．
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴OD=1，DC=BC=AB=AD=4，
∴A（0，3）．
把A（0，3）代入y=a（x-2）²-1，得
3=a（0-2）²-1，
解得a=2．
故答案是：（0，3）；2；

（2）①設直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0），由于直線BD經過D（0，-1），B（4，3），
則$\left\{\begin{array}{l}{-1=b}\\{3=4k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
故直線BD的解析式為y=x-1．
設點P的坐標為（x，x²-4x+3），則點H（x，x-1），點G（x，3）．
i）當x≥1且x≠4時，點G在PH的延長線上，如圖2．
∵PH=2GH，
∴（x-1）-（x²-4x+3）=2[3-（x-1）]，
∴x²-7x+12=0，
解得x₁=3，x₂=4．
當x₂=4時，點P，H，G重合于點B，舍去．
∴x=3．
∴此時點P的坐標為（3，0）．         

ii）當0＜x＜1時，點G在PH的反向延長線上，如圖3，PH=2GH不成立．
iii）當x＜0時，點G在線段PH上，如圖4．
∵PH=2GH，
∴（x²-4x+3）-（x-1）=2[3-（x-1）]，
∴x²-3x-4=0，解得x₁=-1，x₂=4（舍去），
∴x=-1．此時點P的坐標為（-1，8）．
綜上所述可知，點P的坐標為（3，0）或（-1，8）．      

②如圖5，令x²-4x+3=0，得x₁=1，x₂=3，
∴E（1，0），F（3，0），
∴EF=2．
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$EF•OA=3．      
∵△KPH∽△AEF，
∴$\frac{{S}_{△KPH}}{{S}_{△AEF}}$=（$\frac{PH}{EF}$）²，
∴S_△KPH=$\frac{3}{4}$PH²=$\frac{3}{4}$（-x²+5x-4）²．  
∵1＜x＜4，
∴當x=$\frac{5}{2}$時，S_△KPH的最大值為$\frac{243}{64}$．

點評 本考查了二次函數綜合題．涉及的知識點有：坐標軸上的點的坐標特征，拋物線的頂點式，矩形的性質，待定系數法求直線的解析式，相似三角形的性質，二次函數的增減性，分類思想，綜合性較強，有一定的難度．